Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
Решение задачи для поверхности, заданной параметрически.
В качестве примера поверхности, заданной параметрически, опять рассмотрим конус с радиус-вектором
, где .
1)
Напишем уравнение касательной плоскости,
проходящей через точку конуса при
Уравнение касательной плоскости запишем сначала, например, в параметрическом виде. Для этого надо знать координаты точки плоскости и двух неколлинеарных векторов, компланарных плоскости.
Координаты точки плоскости равны координатам вектора
.
При
В качестве искомых векторов возьмем касательные векторы к координатным линиям.
Для
координатной линии
-
это
вектор
,
при его координаты равны
Для координатной линии -
это
вектор
,
при его координаты равны
Параметрическое уравнение касательной плоскости имеет вид
или
Общее уравнение касательной плоскости
или
2) Напишем уравнение нормали к поверхности, проходящей через точку конуса при
В качестве направляющего вектора нормали возьмем векторное произведение касательных векторов к координатным линиям в данной точке
.
Нормальный вектор неудобно вычислять
в общем виде, лучше сразу подставить
координаты:
.
Итак,
Уравнение
нормали к поверхности в точке
запишем в параметрическом виде
или
Решить аналогичную задачу для поверхностей вращения
:
цилиндра (j, z)={R Cosj , R Sinj , z},
конуса ,
сферы (q, j)={R Sinq Cosj , R Sinq Sinj , R Cosq},
катеноида (u, j)={R Ch u Cosj , R Ch u Sinj , R u};
а также для геликоида (u , v)={u Cos v , u Sin v , k v }.
Решение задачи для поверхности, заданной неявно.
В
качестве примера поверхности,
заданной неявно,
рассмотрим сферу с уравнением
или
где
1)
Напишем уравнение нормали, проходящей
через точку
сферы.
В
качестве направляющего вектора нормали
возьмем вектор
.
Для этого найдем
и вычислим его координаты в точке
.
Уравнение
нормали к поверхности в точке
запишем в параметрическом виде
2) Напишем уравнение касательной
плоскости как уравнение плоскости,
проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору
:
.
Получим
или
.
Решить аналогичную задачу для поверхностей 2 порядка, заданных своими каноническими уравнениями.
Решение задачи для поверхности, заданной графиком функции.
Пусть
поверхность задана в виде зависимости
.
Тогда ее можно записать как параметрически
,
взяв в качестве параметров u ,v координаты х,у,
так и неявно
Мы свели задачу к рассмотренным случаям.
Решить
аналогичную задачу для эллиптического
и гиперболического параболоидов
и для параболического цилиндра
