§3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)

Рассмотрим гладкую кривую в пространстве .

Пусть - любая точка кривой. Найдем плоскость, проходящую через и «ближе всего подходящую» к кривой в окрестности точки . Заметим, что если кривая - плоская (то есть лежащая в некоторой плоскости ), то искомой плоскостью будет плоскость .

Определение 3.1. Соприкасающейся плоскостью к кривой в точке называется предел секущей плоскости, проходящей через точки кривой при стремлении

Более строго, плоскость , проходящая через точку кривой , является соприкасающейся к кривой в точке , если

.

Теорема 3.1. -гладкая кривая имеет в каждой точке соприкасающуюся плоскость.

Дадим необходимые разъяснения для кривой более высокого порядка гладкости.

Пусть в пространстве задана прямоугольная система координат Оxyz.

Пусть r (t) - одна из гладких параметризаций кривой : и

Рассмотрим произвольную точку , близкую к точке .

Разложим в ряд Тейлора вектор смещения :

Пусть - неколлинеарные векторы.

Тогда искомая плоскость единственна и проходит через точку параллельно векторам .

Замечание 3.1. Неколлинеарность векторов не зависит от способа параметризации кривой. В частности, для любой допустимой замены параметра , где , векторы также будут неколлинеарны.

Пусть - коллинеарные векторы.

Тогда соприкасающаяся плоскость не единственна. В качестве одной из соприкасающихся плоскостей можно взять любую из плоскостей, проходящих через касательную к кривой в точке .

Определение 3.2. Спрямляющей плоскостью к кривой в точке называется плоскость, проходящая через точку кривой перпендикулярно спрямляющей и нормальной плоскостям в этой точке.

Определение 3.3. Главной нормалью к кривой в точке называется прямая пересечения соприкасающейся и нормальной плоскостей, проведенных в точке .

Главная нормаль перпендикулярна спрямляющей плоскости .

Определение 3.4. Бинормалью к кривой в точке называется прямая пересечения спрямляющей и нормальной плоскостей, проведенных в точке .

Бинормаль перпендикулярна соприкасающейся плоскости в точке .

Определение 3.5. Сопровождающим трехгранником (или репером Френе) кривой в точке называется совокупность трех прямых – касательной, главной нормали и бинормали, и трех плоскостей – нормальной спрямляющей и соприкасающейся, проведенных в точке .

Рисунок 12.

Пусть r (t) - одна из гладких параметризаций кривой : , и - любая точка кривой.

Напишем уравнения всех прямых и всех плоскостей сопровождающего трехгранника кривой.

Уравнения касательной прямой и нормальной плоскости мы уже выписывали в §2.

Если соприкасающаяся плоскость к кривой в точке единственна, то она может быть задана параметрическими уравнениями

, где .

В качестве направляющего вектора бинормали возьмем вектор . Уравнение бинормали в параметрическом виде

, где .

В качестве направляющего вектора главной нормали возьмем вектор . Уравнение главной нормали в параметрическом виде

, где .

Уравнение спрямляющей плоскости в параметрическом виде

, где .

Уравнение соприкасающейся плоскости можно также написать в общем виде как уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

.

Аналогично, так как спрямляющая плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору , то ее общее уравнение имеет вид:

.