Теоремы о пределах функции.
Теорема1. Для существования предела ф-ии f(x) в точке x0 необходимо и достаточно существование обоих односторонних пределов в этой точке и их равенство.
Теорема2. Если функция f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки x0 и для всех xO(x0) имеет место неравенство f(x)<=g(x), то limx->x0f(x)<= limx->x0g(x) если они существуют.
Теорема3. Пусть в окрестности точки x0 – O(x0) определены ф-ии f(x), (x), (x) и f(x) (x) (x)
Предположим, что
существует 
=
=A
Тогда существует
= A
Теорема4. Пусть
= A и 
= B
Тогда:
±
= A ± Bg(x) = AB
/g(x) = A/B, B0
lim сf(x) = c lim f(х), если с – const, постоянную величину можно вынести за знак предела;
lim хn = (lim x)n:
lim nx = nlim x.
Первый замечательный предел.
Первый замечательный предел:
lim Sinx / x = 1, при х 0
имеем очевидные неравенства. SOAB<SсектораОАВ<SOCB
ясно, что длина |AD|=sinx |BC|=tgx
SOAB=1/2 OB AD = ½ |sinx|
SOCB= ½ Ob CB = ½ |tgx|
SсектораОАВ= ½ x
½ sinx< ½ x< ½ tgx
Sinx<x<tgx
При малых х имеем, что sinx>0, поэтому делим все неравенство на sinx
1<x/sinx<1/cosx
Так как при x ->0 cosx->1, то по теореме 3 lim x/sinx=1 при x->0
Тогда lim sinx/x = lim 1/x/sinx = 1 при x->0
Следствия из первого замечательного предела:
= 1
= 1
= 1
Второй замечательный предел. Эквивалентность бесконечно малых.
=
e
=
e
=
e
Следствия.
=
= 
1/x
=
1
x-1)/
x = 1
Эквивалентность бесконечно малых
Пусть в точке x0 (x) (x) – 2 бесконечно малые функции, т.е.
= 0 
= 0
Эти 2 б.м. называются
эквивалентными и обозначаются (x)
(x)
если 
= 1
Пусть (x) бесконечно малая в точке x0 т.е. = 0
Тогда из первого замечательного предела следует, что
= 1 
(x)
Аналогично
tg(x) (x)
arcsin(x) (x)
arctg(x) (x)
= 1
Т.к. 
(x)
е или е(x)-1
(x)
а(x)-1= е(x)lna-1(x)lna
сводка основных эквивалентностей
lim(x)
sin(x) (x)
tg(x) (x)
arcsin(x) (x)
arctg(x) (x)
ln(1+(x)) (x)
e(x)-1(x)
а(x)-1(x)lna
Непрерывность функций. Классификация точек разрыва.
Пусть f(x) определена в некоторой области Д, пусть x0R
Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x0, если выполнены 2 условия:
f(x) определена в точке x0
limx->x0f(x) = f(x0)
если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то ф-я f(x) называется разрывной в точке x0 , а сама точка называется точкой разрыва функции.
Функция f(x) называется непрерывной в области Д, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Определение 2. Ф-я f(x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению x аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции.
x
y
Т.е. f(x0+x)
– f(x0)
0 при x
Из этого определения следует, что графиком непрерывной в области Д функции будет непрерывная линия. Т.е график этой функции можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги.
Все основные элементарные ф-ии, кроме tgx, ctgx, 1/x (>0) непрерывны.
Все основные элементарные ф-ии непрерывны в своей области определения
f(x)=E(x)=[x] – разрывна во всех точках x0Z
f(x) =
(x)
= {0, x рациональное
число 1,
x – нерациональное
разрывна во всех точкахf(x) = { x2, x<=1 3-x, x>1 x=1 точка разрыва
f(x) = { x2, x<=1 2-x, x>1 непрерывна
f(x) = sinx/x x=0 точка разрыва
f(x) = { sinx/x , x0 1,x=0 непрерывна
Односторонняя непрерывность.
Функция f(x) называется непрерывной слева (справа), если
f(x) определена в точке x0
limx->x0-0f(x) = f(x0) (limx->x0+0f(x) = f(x0))
определение.
Пусть x0 точка разрыва ф-ии f(x) тогда, если в точке x0 существует КОНЕЧНЫЕ односторонние пределы limx->x0-0f(x) = а < и limx->x0+0f(x) = b <
То точка x0 называется точкой разрыва первого рода, при этом, если a=b, то эта точка – точка устранимого разрыва. Во всех остальных случаях точка x0 – точка разрыва второго рода.