1. Матрицы. Линейные операции над матрицами.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m-строк одинаковой длины и n-столбцов одинаковой длины. Матрица записывается в виде:

где a_ij R 1  i  m 1  j  n

Обозначают матрицу А, В, С, или сокращают. A_3x2 B_mxn A = (a_ij)_3x4

Числа, составляющие матрицу, называют элементами матрицы и обозначают . a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца.

Матрицы называются равными, если они одинаковых размеров, и на одинаковыъ позициях стоят одинаковые элементы.

Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой и обозначается 0_mxn.

Матрица, у которой число строк m равно числу столбцов n, называется квадратной. Квадратную матрицу размера mxn называют матрицей n-ого порядка. A_n

Элементы квадратной матрицы, у которой номер столбца равен номеру строки, называются диагональными и образуют главную диагональ.

Квадратная матрица, у которой все элементы кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны, называется скалярной. Скалярная матрица, у которой на диагонали стоят единицы, называется единичной матрицей. E = E_n

Если в квадратной матрице все элементы, лежащие ниже или выше главной диагонали равны нулю, то такая матрица называется треугольной. a_ij=0, i>j верхняя треугольная

a_ij=0, i<j нижняя треугольная

Линейные операции над матрицами – сложение, умножение на число.

Сложение матриц. Вводится только для матриц одинаковых размеров. Определение. Пусть A = (a_ij)_mxn B = (b_ij)_mxn – 2 матрицы одинаковых размеров. Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица, обозначаемая A+B такая, что (A+B)_mxn = (a_ij+b_ij)_mxn . таким образом, сложение матриц осуществляется покомпонентно.

Умножение матрицы на число. Определение. Пусть A = (a_ij)_mxn и αR. Произведением матрицы A на число называется матрица, обозначаемая αА, такая, что (αА)_mxn = (αa_ij)_mxn.. т.е. каждый элемент которой получен умножением соответствующего элемента матрицы А на число. Следствие: общий множитель всех элементов матрицы можно вынести за знак матрицы.

Матрица равная – А = (-1)А называется противоположной матрице А. Разность матрицы можно определить как А-В=А+(-В)

Свойства:

1. А+В=В+А

2. (А+В)+С=А+(В+С)

3. А-А=А+(-А)=О

4. 0А=О

5. 1А=А

6. α(А+В)=αА+αВ

7. (α+β)А=αА+βА

8. α(βА)=(αβ)А

2. Умножение матриц.

Упорядоченная пара (А, В) двух матриц называется согласованно, если число столбцов первой матрицы А равно числу строк второй матрицы В. В частности, согласованы в любом порядке 2 квадратные матрицы одного размера. Умножать можно только согласованные пары в порядке их согласования.

Произведением двух согласованных матриц называется матрица, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующий элемент j-ого столбца матрицы В.

Произведение n-экземпляров квадратной матрицы А АхА......А = Аⁿ называется n-ной степенью.

Свойства произведения матриц:

1. А(ВС)=(АВ)С

2. (А+В)С=АС+ВС

3. С(А+В)=СА+СВ

4. α(АВ)=(αА)В=А(αВ)

5.ЕА = АЕ = А