Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
spory.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
05.08.2019
Размер:
10.48 Mб
Скачать
  1. Ранг матрицы. Вычисление ранга.

Пусть Аmxn – произвольная мтарица.

Рангом матрицы А называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от 0.

r(A) , rA

  1. 0<= r(A) <= min(m,n)

  2. r(A)=0  A=0mxn

  3. r(An) = n  detA 0

всякий ненулевой минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным минором, а строки и столбцы, в которых он расположен, называются базисными

вычисление ранга при помощи элементарных преобразований

к элементарным преобразованиям матриц относятся:

  1. перестановка местами любых 2х строк (столбцов)

  2. умножение любой строки (столбца) на любое число, отличное от нуля

  3. прибавление к одной строке (столбцу) любой другой строки (столбца), умноженной на любое число

  4. вычеркивание нулевой строки (столбца)

теорема: элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Поэтому ранг вычисляется приведением матрицы к треугольному или трапециевидному виду (при помощи элементарных преобразований)

Линейная зависимость строк (столбцов) матрицы.

Пусть даны k+1 строка матрицы A,A1,A2...Ak

Говорят, что строка А является линейной комбинацией строк A,A1,A2...Ak если сущестуют числа x1, x2...xk  R такие, что A = x1A1+x2A2+...+xkAk

Определение: система строк A,A1,A2...Ak матрицы называется линейно-зависимой если хотя бы одна строка является линейной комбинацией остальных. Две строки линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны т.е. А1=хА2. В противном случае строки называются линейно независимыми.

Теорема: ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

  1. Системы лау. Методы решения невырожденных систем.

Системой m линейных алгебраических уравненией от n неизвестных (переменных) называется совокупность формальных равенств вида

(1)

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

.....................................

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

где aij, bi  R – заданные числа, х – формальный символ

1 <= i <= m; 1<= j <= n

Если все bi = 0, то система называется однородной, в противном случае – неоднородной. С каждой системой связаны 2 матрицы.

А =

И =

Которые называются матрицей системы и расширенной матрицей системы соответственно.

Рассмотрим матрицы-столбцы

Х = B=

Т.к. пара матриц А и Х согласованно, то их можно перемножить:

АХ = a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2

am1x1 + am2x2 + ... + amnxn bm

используя равенства матриц систему (1) теперь можно записать в виде

(2) АХ = В

Такая запись системы называется матричной.

Решением системы (1) называется любая упорядоченная совокупность n-чисел (с1, с2, ... сn), при подстановке которых вместо (x1, x2, ... xn) соответственно, каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, в противном случае – несовместной. Решить систему – означает найти все ее решения.

2 системы называются эквивалентными или равносильными, если у них одинаковые множества решений.

Решение невырожденных систем.

Если m=n то матрица А = Аnxnквадратная и имеет определитель det(A) = .

Если 0, то система называется невырожденной, в противном случае – вырожденной.

Пусть система 1 невырожденная и записана в матричном виде АХ = В.

Т.к. 0 , то А имеет А-1

И, умножая матричное ур-е АХ = В слева на А-1, получим

Х = А-1В (3)

Решение системы по этой формуле называется матричным методом решения систем (методом обратной матрицы)

Формула Крамера

xj = где - det(A),

j – det, полученный из det(A) заменой j-того столбца столбцом свободных членоы.

Метод Гаусса

Суть метода Гаусса основана на след теореме: элементарные преобразования над строками расширенной матрицы системы не изменяют множетсва ее решений. Суть метода заключается в том, чтобы при помощи элементарных преобразований привести матрицу системы к наиболее простому виду. Например привести матрицу к такому виду, чтобы в каждом нижестоящем уравнении было хотя бы на одну переменную меньше, чем в вышестоящей. Если преобразованная матрица приведена к треугольному виду, то система имеет единственное решение, начиная с последнего ее уравнения последовательно находят значения всех ее неизвестных.

Для нахождения всех решений системы в трапециевидной матрице системы A3 выбирают любой базисный минор. Столбцы в выбранном миноре соответствуют переменным, которые называются базисными, остальные перемнные называются свободными. Придаваем свободным переменным произвольные значения с1, с2 , сn-k, находим общее решение системы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]