33. Экстремум функции. Второе достаточное условие экстремума.

Пусть х₀ – стационарная точка ф-ии y=f(x) т.е. f’(x₀)=0

Тогда, если f”(x₀)>0, то x₀ – точка локального минимума. F”(x₀⁾<0, - точка локального максимума.

Доказательство.

Если f”(x₀)>0, то f’(x) возрастает в О(х₀) и при переходе черех точку х₀ меняет знак с – на +. Значит х₀ – локальный минимум.

33. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба.

Определение. График дифференцируемой ф-ии y=f(x) называется выпусклым вниз (вогнутым) на интервале (a,b) , если для любого x, принадлежащего этому интервалу, касательная, проведенная к графику ф-ии в этой точке, лежит ниже графика этой ф-ии. Аналогично, график ф-ии называется выпуклым вверх в этом интервале, если для любого х, принадлежащего интервалу, касательная к графику ф-ии , проведенная в точке х, лежит выше графика ф-ии. Точка М₀(x₀,f(x₀)) графика ф-ии, в которой хар-р выпуклости меняется на противоположный, называется точкой перегиба.

Теорема.

Если ф-я y=f(x) дважды дифференцируема в интервале (a,b) и f”(x)>0 в этом интервале, то график этой ф-ии выпуклый вниз в этом интервале. Если f”(x)<0 в этом интервале, то выпуклый вверх.

Теорема.

Пусть для ф-ии y=f(x) , определенной в точке х₀ вторая производная без знака и при переходе через эту точку f”(x) меняет знак, то эта точка – точка перегиба графика ф-ии.

33. Ассимптоты графика функции.

ассимптоты бывают 2х видов – вертикальные и наклонные.

Определение. Прямая x=x₀ называется вертикальной ассимптотой графика ф-ии y=f(x) если хотя бы один из односторонних пределов ф-ии f(x) в точке x₀ равен +(-) бесконечность.

Ясно, что непрерывная на всей оси ф-я вертикальных ассимптот не имеет.

Определение. Прямая y=kx+b называется наклонной ассимптотой (при к=0 – горизонтальной) графика ф-ии y=f(x) при x стремящемся к +(-) бесконечности, если ф-ию f(x) можно представить в виде:

F(x) = kx + b + (x), где (x) стремится к 0 при х стремящемся к +(-) бесконечности.

Если такое представление возможно только при х стремящемся к +бесконечности, то соответствующая наклонная ассимптота называется правой (-бесконечности – левой).

Теорема.

Для того, чтобы график ф-ии y=f(x) имел наклонную ассимптоту y=kx+b необходимо и достаточно чтобы существовали конечные пределы.

= k

И = b

33. Формула тейлора.