10. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением 2х ненулевых векторов a, b называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними. Обозначается или ( , )

= |a||b|cos

= 0

Из определения скалярного произведения = |a|Пр_a = |b|Пр_b

Свойства:

1. Ab = ba

2. (a)b = a(b) = ab

3. a(b+c) = ab + ac

a(b+c) = |a|Пр_a +c) = |a|(Пр_a + |a|Пр_a ) = ab + ac

4. aa = |a||a|cos0 = |a|²

5. ab = 0  ab

вычисление скалярного произведения.

= a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z

Применение скалярного пооизведения

1. вычисление углов cos = / | || |

2. опрееление перпендикулярности 2х векторов  =0 или нет

= |a|Пр_a = |b|Пр_b => Пр_b = / |b|

3. в механике A = - работа силы

4. W =

11. Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора а на вектор b называется третий вектор с.

c = [a, b] = a x b, удовлетворяющий условиям:

1. |c| = |a||b|sin  - угол между a и b

2. ca, cb

3. {a, b, c} – правая тройка

Из определения модуля ясно, что |[a, b]| = |a||b|sin = Sпараллелограмма

Свойства:

1. [a, a] = 0

2. [a, b] = - [b, a]

3. [a, b + c] = [a, b] + [a, c]

4. [a, b] = [a, b] = [a, b]

5. [a, b] =  a||b

[a,b] = ( , - , )

Применение векторного произведения

1. Вычисление площадей параллелограммов и треугольников. Sпаралл = |[a,b]|; Sтреуг = |[a,b]|/2

2. В физике

12. Смешанное произведение векторов. Компланарность трех векторов.

Смешанным произведением 3х векторов a,b,c называется число [a,b]c , полученное скалярным умножением векторного произведения [a,b] на третий вектор с. обозначается abc = (a,b,c) = [a,b]c

Пусть {a,b,c} – правая тройка.

Тогда abc = [a,b]c = |[a,b]||c|cos  - угол между [a,b] и c

abc = Sпараллелограмма|c|cos = Sпараллелограмма H = V паралелипипеда, построенного на этиъ векторах.

Если {a,b,c} – левая тройка, то abc = -V

Свойства:

1. a[b,c] = [a,b]c

2. abc = cab = bca = -bac = -cab = -acb

3. (a₁ + a₂)bc = a₁bc + a₂bc

4. (a)bc = a(b)c = ab(c) = abc

Вычисление смешанного произведения

Пусть a(a_x, a_y, a_z) b(b_x, b_y, b_z) c(c_x, c_y, c_z) abc - ?

abc = [a,b]c = ( , - , )(c_x, c_y, c_z) = c_x - c_y + c_z =

=

Т.е. abc = [a,b]c =

Формулировка: для того, чтобы 3 вектора были компланарны, необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение равнялось нулю.

Необходимость: дано: 3 вектора компланарны, доказать: abc = 0

Если a,b,c компланарны, то [a,b]c => abc = [a,b]c = 0

Достаточность. Дано: abc = 0, доказать: a,b,c – компланарны.

0 = abc = [a,b]c = |[a,b]||c|cos = |a||b|sin|c|soc = 0

1. |a| или |b| или |c| равны 0 => среди векторов есть нулевой вектор => a,b,c компланарны

2. sin = 0 => a||b => a,b,c компланарны

3. cos=0 => c^[a,b] = /2 => с принадлежит плоскости ab

применение смешанного произведения

1. вычисление объемов параллелипипедов ( V = |abc|), трегольных призм ( V = |abc|/2), пирамид ( V = |abc|/6)

2. определение компланарности трех векторов