33. Свойства непрерывных функций.

Теорема 1. Если ф-я f(x) непрерывна на замкнутом отрезке [a,b], то она достигает на нем своего наибольшего и наименьшего значения.

Теорема 2. (о сохранении знака). Если ф-я непрерывна в некоторой О(x₀) – окрестности и f(x₀)0, то существует О_(x₀) – окрестность, в которой знаки f(x₀) и f(x) совпадают.

Теорема 3. (о прохождении через 0). Пусть f(x) непрерывна на [a,b] и f(a)f(b)<0 , т.е. на концах отрезка ф-я принимает значения разных знаков. Тогда внутри интервала [a,b] существует точка С такая, что f(C) = 0. Замечание: если ф-я f(x) строго монотонная, то такая точка С единственная.

Теорема 4. (о промежуточных значениях). Если f(x) непрерывна на [a,b] и f(a) = A  B = f(b), тогда для любой точки С[А,В] существует x₀[a,b] такое, что f(x₀) = C. Замечание: если ф-я f(x) строго монотонна на [a,b], то x₀ – единственная.

Теорема 5. Пусть ф-я f(x) g(x) непрерынвы в точке x₀, тогда:

1. f(x)+-g(x) непрерывна в точке x₀

2. f(x)g(x) непрерывна в точке x₀

3. f(x)/g(x) непрерывна в точке x₀ если g(x)

непрерывность сложной и обратной функции.

Пусть u = (x) – непрерывна на [a,b] и y = f(u) непрерывна на [c,d], содержащем все значения ф-ии (x) на [a,b].

Теорема. Если ф-я непрерывна и строго монотонна на [a,b], то обратная ф-я x = f^-1(y) непрерывна на промежутке [f(a),f(b)].

33. Производная. Геометрический и механический смысл производной.

Пусть ф-я y=f(x) непрерывна в некоторой O(x₀). x – приращение аргумента в точке x₀ .

Вычислим f(x₀) и f(x₀+x)

Величина y = f(x₀) = f(x₀+x) – f(x₀) называется приращением ф-ии в точке x₀ , вызванное приращением x. Разделим

Это будет средняя скорость изменения функции за . Возьмем предел.

при x - мгновенная скорость изменения ф-ии f(x) в момент x₀ (в точке x₀ )

Если этот предел существует и конечен, то он называется производной ф-ии f(x) в точке x₀ и обозначается y’(x₀), f’(x₀). Эту процедуру можно проделать для любой фиксированной точки x.

Определение. Производной ф-ии y=f(x) в произвольной фиксированной точке х называется предел (если он существует и конечен) отношения приращения ф-ии y в точке х к вызвавшему его приращению аргумента x. Тогда x произвольным образом стремится к 0. Т.е.

y’(x) =

поскольку х может быть любым, что y’(x) – тоже ф-я от этого х. Если y’(x₀) = ±, то говорят, что в этой точке ф-я имеет бесконечную производную.

Операция нахождения производной называется дифференцированием ф-ии. Если в точке х₀ ф-я имеет производную, то она называется дифференцируемой в точке х₀ или гладкой.

По теореме о пределах существует тогда и только тогда, когда существуют и равны оба односторонних предела.

Механический смысл производной.

Производная является можелью скорости протекания механических или физичесих процессо, в частности.

1. S=S(t) – расстояние от 0 в момент времени t.

S’(t) = = v(t) – скорость в момент времени t.

2. v=v(t) - скорость в момент времени t

v’(t) = = a(t) – ускорение в момент времени t.

3. Рассмторим неоднородный стержень.

m=m(x) – масса отрезка [0,x]

m’(x) = = = (x) – линейная плотность в точке x.

Геометрический смысл производной.

= BC/AC = tg

Если x , то точка В стремится к точке А и  , а прямая l L – касательная к графику f(x) в точке х₀.

Поэтому y’(x₀) = = = tg, где  - угол между касательной L и осью Ox.

• y’(x₀) = k, k – угловой коэффициент касательной L к графику ф-ии в точке х₀.

Поэтому если M₀(x₀,y(x₀)) – точка графика ф-ии y=f(x) с абсциссой x₀, то ур-е касательной, проведенной к графику ф-ии в точке (x₀,y(x₀)) –

y – y₀ = y’(x₀)(x-x₀) или y = y₀ + y’(x₀)(x-x₀)

нормалью привой в заданной точке называется прямая, проходящая через заданную точку перпендикулярно касательной. Поэтому ур-е нормали к графику ф-ии в заданной точке

y – y₀ = - (x-x₀) или y = y₀ - (x-x₀)