13. Деление отрезка в данном отношении

Пусть отрезок задан точками A(x₁,y₁,z₁) B(x₂,y₂,z₂) и пусть   -1 – любое число.

Определение. Говорят, что точка С на отрезке АВ делит этот отрезок в отношении  если = 

 = 1 пополам

=2 отношение 2:1(3 части)

=1/2 в отно 1:2 (3 части)

Требуется наути координаты точки С.

Найти С(x,y,z)

AC = CB 

AC(x-x₁, y-y₁,z-z₁)

CB(x₂-x, y₂-y, z₂-z)

 (x-x₁, y-y₁,z-z₁) = (x₂-x, y₂-y, z₂-z) 

x-x₁ = (x₂-x)

y-y₁ = (y₂-y)  x =

z-z₁ = (z₂-z)

C( , , )

14. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору.

Пусть М₀(x₀, y₀, z₀) – точка n(a,b,c) –вектор

Требуется написать ур-е плоскости , которая проходит через точку М₀ и n

Решение.

Пусть M(x,y,z) – произвольная точка пространства. Построим вектор M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o) M  M₀M n  M₀M n = 0  (a,b,c)( x-x₀,y-y₀,z-z_o) = 0 

a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀) = 0 - уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору (общее ур-е плоскости, проходящей через заданную точку) если раскрыть скобки, то получим следующее Ax+By+Cz-Ax₀-By₀-Cz₀ = 0

Ax+By+Cz+D = 0 - общее ур-е плоскости в пространстве, где A,B,C – координаты вектора n.

15. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно 2-м векторам.

Пусть M₀(x₀,y₀,z₀) (a₁,a₂,a₃) (b₁,b₂,b₃) ||

Написать ур-е плоскости , ||a ||b M₀

Пусть М(x,y,z) – произвольная точка

Вектор M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o)

M  M₀M , , компланарны  M₀M = 0 

= 0

Для того, чтобы привести его к общему виду, достаточно разложить его по первой строке.

( ) - ( ) + ( ) = 0

16. Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки.

Пусть даны три точки:

M₀(x₀,y₀,z₀)

M₁(x₁,y₁,z₁)

M₂(x₂,y₂,z₂)

Написать ур-е плоскости  (M₀, M₁, M₂)

M(x,y,z) – произвольная точка

M₀M₁(x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z_o) и M₀M₂(x₂-x₀,y₂-y₀,z₂-z_o) M₀M(x-x₀,y-y₀,z-z_o)

= 0

17. Расстояние от точки до плоскости. Угол между плоскостями.

Дано: : Ax + By + Cz + D = 0

M₁(x₁,y₁,z₁₎

Найти: d(M₁,) – расстояние от точки до плоскости.

Рассмотрим M₀M = |n||M₀M|cos(0,) = |n|d1

• d =

M₀M₁ = (A,B,C) (x₁-x₀,y₁-y₀,z₁-z_o) = A(x₁-x₀) + B(y₁ – y₀) + C(z₁ – z₀) = Ax₁ + By₁ + Cz₁ – Ax₀ –By₀ –Cz₀

Т.к. М₀ =>

=> Ax₀ –By₀ –Cz₀ = D

=> M₀M₁ = Ax₁ + By₁ + Cz₁ +D

A²+B²+C²

d =

для того, чтобы найти расстояние от точки до плоскости, нужно координаты точки подставить в ур-е плоскости, взять модуль полученного числа и разделить на длину нормального вектора.

Под углом между двумя плоскостями понимают двугранный угол, образованный этими плоскостями.

N₁,N₂-нормальные векторы плоскости.

P :A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0

Q:A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0

PQ{A₁,B₁,C₁}

QN₂{A₂,B₂,C₂}

1)Пусть PQ<=>N₁N₂

A₁A₂+B₁B₂+C₁C₂=0 условие перпендикулярности PQ.

2) Пусть PQ<=> N₁N₂

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂- Условие параллельности 2х плоскостей.

A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂=D₁/D₂- Условие совпадения 2х плоскостей.