33. Дифференциал. Инвариантность формы.

limy=A, y=A+

limy/x=y`, y/x=y`+, y=y`x+x

x0

y=y`x+, где -б.м.в., величина более высокого порядка малости,, чем x(), и ее можно отбросить.

dy=y`x

Дифференциалом ф-ции наз. величина, пропорциональная б.м. приращению аргумента х и отличающаяся от соответствующего приращения ф-ции на б.м.в. более высокого порядка малости, чем х.

Если y=x, то dy=dx=x`x=x, dx=x

Если yx, то dy=y`dx, y`=dy,dx

Геометрический смысл: дифференциал - изменение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции в точке (x₀,f(x₀)) при изменении x₀ на величину x

Св-ва: 1. (UV)`=U`V`, то (UV)`dx=U`dxV`dx, d(UV)=d(UV)

2. (UV)`=U`V+V`U, то (UV)`dx=V`dU+U`dV

3.d(c)=c`dx=0*dx=0

4. d(U/V)`=(V`dU-U`dV)/V².

ИНВАРИАНТНОСТЬ:

Дифференциал ф-ии всегда равен произведению производной и дифференциала аргумента и не зависит от то, является ли аргумент независимой переменной или промежуточной функцией.

33. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Св-во дифференциала d_y -> y при x->0 можно использовать в приближенных вычислениях значений функций.

yd_y

y(x₀+x) – y(x₀)  d_y(x₀)

y(x₀+x)  y(x₀) + d_y(x₀)

y(x₀+x)  y(x₀) + y’(x₀)x

в правой части этой формулы стоит значение ф-ии и ее производной в точке х₀. А в левой – значение ф-ии в некоторой другой точке, нахоящейся рядос с х₀. Т.о. эта формула позволяет приближенно вычислить значение ф-ии в некоторой точке, зная ее значение и значение производной в некоторой рядом лежащей точке х₀.

33. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

Определение. Точка х₀ называется точкой локального максимума(минимума) если существует окрестность О(х₀) такая, что f(x)<=f(x₀) (f(x)>=f(x₀)) при всех х О(х₀)

Значение f(x₀) – локальный максимум(минимум). Точки локальных максимумов(минимумов) называются экстремумами функций.

Необходимое условие существования экстремума.

Если в точке х₀ f(x) достигает экстремума, то ее производная в этой точке равна 0 (или не существует).

Дано: в точке х₀ f(x) имеет локальный максимум.

Доказать: в этой точке f’(x)=0 или не существует

Доказательство.

Если в точке х₀ – локальный максимум, то существует О(х₀) , что f(x)<=f(x₀) для всех х О(х₀).

Выберем х так чтобы х₀+х  О(х₀).

Тогда у=f(х₀+х)-f(х₀) <= 0при любом х.

Тогда f’(x₀) = lim_x->0y/x

Если x>0, то lim_x->0+0y/x = f’(x₀+0)<=0

Если x<0, то lim_x->0-0y/x = f’(x₀-0)>=0

Если производная существует, то это возможно, когда f’(x₀+0)= f’(x₀-0)

• f’(x₀)=0

если эти односторонние пределы отличны от 0, то производная не существует.

Точки, в которых производная не существует – критические точки.

Критические точки, в которых производная равна - - стационарные точки.

Критические точки называются точками, подозрительными на экстремум. Это условие явл необходимым, но не достаточным.

33. Экстремум функции. Первое достаточное условие экстремума.

Пусть х₀ – критическая точка ф-ии y=f(x) непрерывной

Если при переходе через эту точку, производная ф-ии меняет знак с – на +, то в этой точке находится локальный минимум, если с + на - , то локальный максимум. Если же производная не меняет знака, то в точке х₀ экстремума нет.

Док-во.

Пуст в точке x₀-x f’(x)<0

X₀+x f’(x)>0 (с – на +) >0

Тогда в точке x₀-x ф-я убывает и f(x₀)<f(x₀-x )

В точке X₀+x f’(X₀+x)>0 и ф-я возрастает, т.е. f’(X₀+x)>f(x₀)

• X₀ – точка локального минимума