29.Точечные и интервальные оценки параметров распределения

Точечные оценки неизв.парам-ра θ хороши в кач-ве первонач.рез-тов обработки наблюдений,но неизвестно,с какой точностью они дают оцениваемый параметр. Для выборок небольш объема вопрос о точности оценок оч существенен,т.к.между

θ и θ мб большое расхожд-е в этом случае.Кроме того при решении практич.задач часто треб.определить и надежность этих оценок.Возникает задача о приближении пар-тра θ не одним числом,а интервалом (θ1,θ2).Оценка неизв.парам-ра наз-ся интервальной если опред-ся двумя числами-концами интервала.Задачу интерваль оценивания формул.так-по данным выборки построить числовой интервал (θ1,θ2), относит.котор.с заранее выбранной вероят-ю ϒ можно сказать,что внутри этого интервала наход-ся точное значение оцениваемого параметра.

Интервал(θ1,θ2) накрывающ с вер-ю ϒ истинное знач-е параметра θ,назыв-ся доверительным интервалом,а вер-ть ϒ-надежностью оценки(доверит.вер-ю).

Часто доверит.интервал выбир-ся симметричным относит.несмещенной точечной оценки θ,т.е выбир-ся интервал вида (θ-ε,θ+ε) такой что

,число ε>0 хар-ет точность оценки,чем меньше модуль разности θ тем точнее оценка. Велич.ϒ выбир-ся заранее,выбор зависит от решаем.задачи.

Точечная оценка предполагает нахождение единственной числовой величины, которая и принимается за значение параметра. Такую оценку целесообразно определять в тех случаях, когда объем ЭД достаточно велик. Причем не существует единого понятия о достаточном объеме ЭД, его значение зависит от вида оцениваемого параметра.При малом объеме ЭД точечные оценки могут значительно отличаться от истинных значений параметров, что делает их непригодными для использования.Задача точечной оценки параметров в типовом варианте постановки состоит в следующем:

Имеется: выборка наблюдений (x1, x2, …, xn) за случайной величиной Х. Объем выборки n фиксирован.

Известен вид закона распределения величины Х, например, в форме плотности распределения f(T, x), где T – неизвестный (в общем случае векторный) параметр распределения. Параметр является неслучайной величиной.

Требуется найти оценку q параметра T закона распределения.

Ограничения: выборка представительная.

Существует несколько методов решения задачи точечной оценки параметров, наиболее употребительными из них являются методы максимального правдоподобия, моментов и квантилей.

Метод максимального правдоподобия предложен Р. Фишером в 1912 г.основан на исследовании вероятности получения выборки наблюдений (x1, x2, …, xn). Эта вероятность равна f(х1, T) f(х2,T) … f(хп, T) dx1 dx2 … dxn.

Совместная плотность вероятности L(х1, х2 …, хn ; T) = f(х1, T) f(х2, T) … f(хn, T),рассматриваемая как функция параметра T, называется функцией правдоподобия. В качестве оценки q параметра T следует взять то значение, которое обращает функцию правдоподобия в максимум.

Метод моментов предложен К. Пирсоном в 1894 г.Сущность: выбирается столько эмпирич моментов,сколько требует оценить неизвестных параметров распред-ия.Вычисленные по ЭД оценки моментов приравниваются к теоретическим моментам;параметры распределения опред-ся через моменты, и состав-ся уравнения, выражающ зависимость параметров от моментов, в рез-те получается система уравнений.Решение этой системы дает оценки параметров распределения генеральной совокупности.

Метод квантилей

Сущность метода квантилей схожа с методом моментов: выбирается столько квантилей, сколько требуется оценить параметров; неизвестные теоретические квантили, выраженные через параметры распределения, приравниваются к эмпирическим квантилям. Решение полученной системы уравнений дает искомые оценки параметров.

Дисперсия D(xa ) выборочной квантили обратно пропорциональна квадрату плотности распределения D(xa )=[a (1–a )]/[nf 2(xa )] в окрестностях точки xa . Поэтому следует выбирать квантили вблизи тех значений х, в которых плотность вероятности максимальна.