16.Теоремы дифференцируемости и интегрируемости изображения и оригинала.
Т:о дифференцировании изображения
;
Док-во:
Продолжая до n производной будет доказана теорема
Т:о дифференцируемости оригинала: Если ф-ция f(t) непрерывна и имеет кусочно непрерывную произодную f'(t) на участке [0;+∞] с точками разрыва первого рода и показатель роста ф-ции f(t) и f'(t) равны S0,то в области Rep>S0 справедлива фо-ла L[f’(t);p]=pL[f(t);p]-f(0).
~L[f(n)(t);p]=pnL[f(t);p]-p(n-1)f(0) - …-pf(n-2)(0)-f(n-1)(0);
Т:Интегрирование
изображения: если интеграл
сходится, то он является изображением
ф-ции f(t)/t , тоесть:
,
где f(t) переходит в F(p), тоесть f(t).='F(p)
Т:Интегрирование
оригинала: Если f(t).='F(p), то
~Следствие
Если f(t).='F(p),то
справедливо равенство
17.Решение линейных диффур и систем операционным методом
Три этапа:
1)Переход от исходных ф-ций к их изображениям по Лапласу.При этом диффур преобразуется в алгебраическое относительно изображения искомой ф-ции
2)Решение полученного алгебраического уравнения
3)Получение искомого решения по его изображению
Пример: y''+y=2cost, y(0)=0, y'(0)=-1; y(t)-?
Подействуем оператором Лапласа на левую и правую части
L[y”+y;p]=L[2cost;p]
Используем св-во линейности
L[y”;p]+L[y;p]=2L[cost;p]
Обозначим преобразование Лапласа как F(p)
L[y(t);p]=F(p)
Применяя теорему о дифференцировании оригинала имеем:
p2F(p)-py(0)-y’(0)+F(p)=2p/(p2+1);
p2F(p)-p*0+1+F(p)=2p/(p2+1);
F(p)(p2+1)= 2p/(p2+1) -1;
F(p)=2p/(p2+1)2 - 1/p2+1;
sint.=’1/p2+1
Воспользуемся теоремой о дифференцировании изображения
F(p).=’tsint-sint
y(t)=(t-1)sint
18.Элементы комбинаторики. Схема случаев.
Основные комбинаторные формулы.Среди возможн соединений в отдельные группы элем-ов из их общего числа n выделяются следующие:
1)Размещение по m различных элементов
2)Перестановки из всех n элементов
3)Сочетания по m элементов
Опр:размещением
из n различн эл-ов по m называется
соединение,котор отлич-ся либо
составом,либо порядком своих элем-ов.
Число различн.размещений определ.
формулой 
Опр:перестановками из n элементов наз-ся всевозможн.соединения из этих n эл-ов. Например перестановками яв-ся различ.располож-я 4 человек на 4мест скамье. Pn=n!
Опр:сочетаниями из n эл-ов по m называются соединения,кот различаются только составом своих элементов. Например это трехзначные числа,составленные из последних девяти цифр,если кажд число записано тольк в порядке убывания цифр.
Всякое изучаемое явление будем называть экспериментом. Под схемой случаев будем понимать ситуацию,когда множество возможных исходов рассматриваемого эксперимента образует конечную совокупность.Каждый из исходов имеет такие же шансы на осуществление, как и любой другой. Исследуемое явление может наблюдаться в идентичных условиях неограниченное число раз (эксперимент обладает свойством повторяемости).
Пример 1. Рассмотрим эксперимент,состоящий в подбрасывании монеты.Возможные исходы этого эксперимента-выпадение орла {0} или решки {1}. Это простейший пример схемы случаев.
Пример 2. Пусть в урне лежит N физически идентичных шаров,пронумерованных от 0 до N. Эксперимент состоит в извлечении шара.Возможный исход однократного извлечения – любой номер от 0 до N. Если шары перемешаны и извлекаются наугад, то мы имеем пример схемы случаев с N равновозможными исходами. Событием в эксперименте, описываемом схемой случаев, назовем любую совокупность исходов рассматриваемого эксперимента.