![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •4.Аналитические фкп и связь с гармоническими функциями
- •8.Степенные ряды в комплексной области
- •9.Ряд Тейлора
- •10.Ряд Лорана
- •16.Теоремы дифференцируемости и интегрируемости изображения и оригинала.
- •19.Классическое определение вероятности
- •20.Геометрическое определение вероятности
- •21.Условная вероятность.Теоремы сложения и умножения вероятностей.
- •25.Непрерывные случайные величины и основные законы их распределения.
- •26.Числовые характеристики случайных величин и их свойства
- •28.Обработка статист.Данных.Методы моментов и максим.Правдоподобия.
- •29.Точечные и интервальные оценки параметров распределения
- •30.Статистическая проверка гипотез.Критерий Пирсона.
8.Степенные ряды в комплексной области
Рассм
ряд из компл.чисел
(1)
где zn=xn+iyn.Ряд (1) назыв-ся сходящимся,если
сход-ся последов-ть {Sn}
его частных сумм.
;
-сумма
ряда. Очевидно,что ряду (1) с компл.чл
соответствует два ряда:
с
действит членами,и можно показать,что
для сходим-ти ряда (1) необх и дост,чтобы
сходился ряд Xn и Yn.При этом,если
а
,то
.
Т:пусть дан ряд с комл.членами вида (1).Тогда если сход-ся ряд из модулей членов ряда (1),то сходится ряд (1) и при том абсолютно.
Док:
.
Очеви,что
,
Поэтому
из сходимости ряда из модулей следует
сходимость рядов
(по
первому признаку сравнения). Из сход-ти
этих рядов следует абсолютн.сход-ть и
самих рядов без модулей.А этого
достаточно,чтоб сходился ряд
!Доказанная теорема позвол.применять при исследовании сход-ти рядов с КЧ все достаточные признаки сход-ти рядов с неотриц.членами.
Ряд
вида
(3)
где z-комп переменная, z0,a0,a1..an – КЧ,
называется степенным рядом.
Т:ф-ция f(z) аналитическая в круге |z-z0|<R разлагается в сходящийся к ней ряд по степеням z-z0.
Замечание: известные разложения
9.Ряд Тейлора
Опр:ряд
вида
где
z- компл.переменная,z0,a0,a1..anϵC
называется степенным рядом.
Т:Ф-ция f(z) аналитич-ая в круге |z-z0|<R разлага-ся в сходящийся к ней ряд по степеням z-z0.
Док:пусть f(z) аналит-ая в круге|z-z0|<R.Обозначим через z люб.точку внутр круга.
Опишем
+ ориент-ую окруж-ть L с центром в z0 и
радиусом ρ<R
так чтоб z оказал. внутри L.Ф-ция f(z) будет
аналитич-кая на L и внутри него.Поэтому
будет справедлива формула
(4) где wϵL.
(5)
Т.к.
wϵL
а z внутри L,то
(6) Поэтому выражение
можно рассматривать как сумму сходящ-ся
геометрич-кой прогрессии
,при
|q|<1
Из
(5) и (7) получаем
или
(8)
Причем
ряд(8)равномерно сходится при любых wϵL
и фиксиров-ом z,потому-что как видно из
(6) выражение
и
не зависит от wϵL.Умножая
(8) на f(w)/2πi
и интегрируя вдоль L
получим
В
силу(4)
=С0+С1(z-z0)+C2(z-z0)2+..+Cn(z-z0)n+…(*)
где
Доказано,что аналит.ф-ция f(z) в круге |z-z0|<R разлаг-ся в степенн.ряд (*) с коэф-ми то есть в ряд Тейлора. !Привести пример разложений!
10.Ряд Лорана
Т:всякая
аналит.в кольце r<|z-z0|<R(1)
ф-ция f(z)
однознач.представл-ся в этом кольце в
виде сходящ-ся ряда
(2)
где
(3)
, n=0,+-1,+-2… ϒ-любая окружность |w-z0|<R
ориентированная против часовой стрелки.
Док-во:Пусть
есть кольца радиуса R,r с центром z0.В
кольце(1) возьмем окр-ти R', r' с центром
z0 и r<r'<R'<R.По усл.теоремы f(z) аналитична
в кольце между окр-ми R' и r',и на самих
этих окруж-ях.Поэтому по ф-ле Коши для
сложного конткра имеем:
(4)
где z-любая точка между окр.r' и R',т.е. для
любого z:r’<|z-z0|<R’.
А)В первом интеграле(4) точка w обознач.точку окружности R'(wϵR') поэтому
и
тогда
(5)
Б)Во втором интеграле (4) точка w означает точку окр.r'(wϵr').Поэтому справедлив
и
(6)
Подставляя (5) и (6) в (4) и почленно интегрируя получим:
(7) =
Так как ф-ция
при
любом n аналитична в кольце (1),то в силу
Т.Коши интеграл (3) равен подобному
интегралу по любой другой окружности,в
частности по R' и r'.Поэтому из (7) следует
(2) где числа Cn вычисляются по формулам
(3). Первый ряд
в
правой части (2) сходится в круге |z-z0|<R
к некоторой аналитич-кой в этом круге
ф-ции f1(z).Он
назыв-ся правильной частью ряда
Лорана.Второй ряд
в
правой части (2) сходится при |z-z0|>r. Он
определяет некоторую аналитич.ф-цию
f2(z) называемую главной частью ряда
Лорана. Тогда f1(z)+f2(z)=f(z),
будет ф-цией, аналитической в кольце
r<|z-z0|<R
11.Особые точки и их классификация.
Точка z0 называется нулем ф-ции f(z) порядка n,есои f(z0)=0,f'(z0)=0…f(n)(z0)≠0. Если n=1 то это простой ноль. Точка z0 тогда и только тогда яв-ся 0 n-го порядка ф-ции f(z) аналитической в т.z0 когда в нек.окр.этой точки имеет место равенство f(z)=(z-z0)nφ(z), где φ(z) аналитична в т.z0 и φ(z0) ≠0.
Опр:z0
назыв-ся изолир.особ.т.если f(z) однозначная
и аналитическая в 0<|z-z0|<R
кольце кроме самой точки z0.Ф-цию f(z) в
окр.такой т.z0 можно разложить в ряд
Лорана
При этом возможны три случая:
1)РЛ
не содержит членов с отрицат.степенями
z-z0 т.е.
В
этом случае z0 называют устранимой
особой точкой.
2)РЛ
содержит конечное число членов с
отриц.степен z-z0,
В этом случае z0
– полюс порядка k.
3)РЛ содержит бесконечное число членов с отриц.степ z-z0 В этом случае z0 называют существенно особой точкой ф-ции f(z).
При опред.хара-ра изол.особ.т-ки пользуются следующими правилами:
1)Для
того,чтобы z0 явл-сь устранимой особ т.
аналит.ф-ции f(z) необход и дост существования
конечного предела
где
|C|<∞.
2)Чтобы
z0 явл-сь полюсом аналитич.ф-ции f(z) необх
и дост чтобы
2')Чтобы
т.z0 явл-сь полюсом порядка n аналит.ф-ции
f(z) необх и дост чтобы f(z) можно было
представить в виде
где
φ(z) ф-цтя аналитич.в т.z0 и φ(z0) ≠0.
2'')Пусть
z0 изол особ т.ф-ции
где
λ(z) и μ(z)
ф-ции аналитич.в z0.
Если числитель λ(z) и все производные
до k-1
порядка включительно в т.z0
=0 а производная k-го
порядка≠0, знаменатель μ(z)
и все его производные до l-1 поряд.
включительно=0 а lая проивзодная в
z0≠0,то при l>k точка z0 яв-ся полюсом
порядка n=l-k.Если l≤k,то z0 яв-ся устранимой
особой точкой ф-ции f(z).
3)Пусть при z→z0 аналит.ф-ция f(z) не имеет предела ни конечного,ни бесконечн. Это условие яв-ся необх и дост чтобы z0 была существенно особой точкой.
12.Вычеты и их вычисление
Пусть z0 изол.особ.т ф-ции f(z).
Опр:вычетом
ф-ции f(z) в т.z0 назыв-ся число, обозначаемое
Вычz0f(z)
и определяемое равенством
где γ замкнутый контур, лежащий в области
аналитичности ф-ции f(z) и не содержащий
внутри других особ точек ф-ции f(z), кроме
z0. Направление интегрирования
положительно. Сопостав формул (1) и (3)
по Лорану показывает, что Выч ф-ции
равен коэф-ту C-1
в Лорановском разложении f(z) в окр. z0
Замечания:
1)Выч в устраним особ точке равен 0.
2)Выч ф-ции f(z) в полюсе n-го порядка z0 вычисляется по формуле
2')Если
в окр z0 f(z) представляется как частное
двух аналит.ф-ций,причем
λ(z0)=0,μ(z0)=0,μ’(z0)≠0,
f(z)=λ(z0)/μ(z0),
то z0-полюс
первого порядка и
3)Если точка z0 есть сущетсв.особ.точка ф-ции f(z),то вычет вычисляется по формуле (2)
Т:Основная т.Коши о вычетах
Если функция f(z) является аналитической на границе Г области G и всюду внутри нее за исключением конечного числа изолированных особых точек zn, то
14.Преобразование Лапласа и его свойства
Основными первонач.понятиями операц.исчисления явл-ся понятия ф-ции оригинала и ф-ции-изображения.Пусть f(t)-действит.ф-ция действит.переменного t (время или координата).f(t) назыв-ся оригиналом,если она удовл-ет условиям:
1)f(t)≡0,t<0
2)f(t)-кусочно-непрерывная при t≥0 т.е.она непрерывна или имеет точки разрыва I рода,причем на кажд конечном промежутк оси t таких точек лишь конечное число.
3)Сущ.числа M>0 и s0≥,что для всех t выпол-ся |f(t)|≤Mes0t,т.е.при возрастании t f(t) может возраст не быстрее некоторой показательн.ф-ции.Число s0-показатель роста f(t)
!f(t) мож быть компл.ф-цией действит.переменного f(t)=f1(t)+f2(t)
Изображением
оригинала f(t) наз-ся ф-ция F(p) компл.переменного
p=s+iσ,опред интегралом
.Операцию
перехода от оригинала к изображению
назыв.преобразованием Лапласа.Обозначается
f(t).=’F(p)
Т:существование изображения-для всякого оригинала f(t) изображение F(p) сущ в полуплоскости Rep=s>s0,где s0-показатель роста ф-ции f(t),причем F(p)-аналитич. в этой полуплоскости.
~Если
F(p)
явл-ся изображением f(t),
то
Т:о единственности оригинала:если F(p) служит изображением двух оригиналов f1(t) и f2(t),то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках,в кот.они непрерывны.
Свойства преобразования Лапласа:
1)Линейность-линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений,т.е. если f1(t).=F1(p),f2(t).=F2(p),c1,c2-const,то
c1*f1(t)+c2*f2(t).=c1*F1(p)+c2*F2(p)
2)Подобие-если
f(t).=F(p),λ>0,то f(λt).=
,те
умножение аргумента оригинала на
положительн число λ приводит к делению
изображения и его арг.на это число.
3)Смещение(затухание)-если f(t).=F(p),a=const,то eat*f(t).=F(p-a),те умножение оригинала на функцию eat влечет за собой смещение переменной p.
4)Запаздывание-если f(t).=F(p),τ>0,то f(t-τ).=e-pτF(p),те запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на e-pτ
5)Дифференцирование оригинала-если f(t).=F(p) и ф-ции f'(t),f''(t)…f(n)(t) явл-ся оригиналами,то:
f’(t).=pF(p)-f(0)
f’’(t).=p2F(p)-pf(0)-f’(0)
f’’’(t).=p3F(p)-p2f(0)-pf’(0)-f’’(0)
……………………………..
f(n)(t).=pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0).
6)Дифференцирование изображения-если f(t).=F(p),то
F’(p).=-tf(t)
F’’(p).=(-1)2t2f(t)
……………
7)Интегрирование
оригинала-если f(t).=F(p),то
8)Интегрирование
изображения-если f(t).=F(p) и интеграл
сходится,
то
9)Умножение
изображений-если f1(t).=F1(p), f2(t).=F2(p), то
10)Умножение
оригиналов- если f1(t).=F1(p), f2(t).=F2(p), то,где
путь интегрирования-вертикальная
прямая Rez=ϒ>s0
15.Теоремы единственности, подобия, линейности, смещения изображения
Т:единственности-Если две непрерывные ф-ции f(t) и g(t) имеют одно и то же изображение F(p),то они тождественно равны
~Следствие:для любой непрерывной ф-ции f(t),тождественно не равной 0,изображение не может быть периодической функцией.
Док-во: для любого р существует w≠0,что F(p+w)=F(p).
По
теореме единственности
.
Получили противоречие,верно что f(t)
непериодическая.
!Изображение простейших функций
Опр:единичной
ф-ей или ф-ей Хевисайда наз-ся ф-ция вида
Очевид что эта ф-ция удовлетвор.всем
условиям оригинала и показатель роста
ее S0=0. Найдем изображение этой ф-ции в
обл Rep>0.
,
Т:подобия.
Если ф-ция f(t)
под действием оператора Лапласа
переходит в некот. ф-цию f(t).=’F(p),
то f(αt).=’
Т:линейности
Преобразование Лапласа линейной комбинации равно линейной комбинации преобразований,где А В действительные числа и если показатели роста ф-ции fs0(t) gs1(t) соотв. S0 и S1 то изображение L[Af(t)+Bg(t);p] существует в полуплоскости Rep>max{S0;S1}
Т:смещений
Преобразование Лапласа L[f(t)e-αt;p]=L[f(t);p+α] где Re(p+α)>S0
Пример: найти оригинал,если известно изображение
Известно
что:
,
,
…
.