8.Степенные ряды в комплексной области

Рассм ряд из компл.чисел (1) где zn=xn+iyn.Ряд (1) назыв-ся сходящимся,если сход-ся последов-ть {Sn} его частных сумм.

;

-сумма ряда. Очевидно,что ряду (1) с компл.чл соответствует два ряда: с действит членами,и можно показать,что для сходим-ти ряда (1) необх и дост,чтобы сходился ряд Xn и Yn.При этом,если

а ,то .

Т:пусть дан ряд с комл.членами вида (1).Тогда если сход-ся ряд из модулей членов ряда (1),то сходится ряд (1) и при том абсолютно.

Док: . Очеви,что ,

Поэтому из сходимости ряда из модулей следует сходимость рядов (по первому признаку сравнения). Из сход-ти этих рядов следует абсолютн.сход-ть и самих рядов без модулей.А этого достаточно,чтоб сходился ряд

!Доказанная теорема позвол.применять при исследовании сход-ти рядов с КЧ все достаточные признаки сход-ти рядов с неотриц.членами.

Ряд вида (3) где z-комп переменная, z0,a0,a1..an – КЧ, называется степенным рядом.

Т:ф-ция f(z) аналитическая в круге |z-z0|<R разлагается в сходящийся к ней ряд по степеням z-z0.

Замечание: известные разложения

9.Ряд Тейлора

Опр:ряд вида где z- компл.переменная,z0,a0,a1..anϵC называется степенным рядом.

Т:Ф-ция f(z) аналитич-ая в круге |z-z0|<R разлага-ся в сходящийся к ней ряд по степеням z-z0.

Док:пусть f(z) аналит-ая в круге|z-z0|<R.Обозначим через z люб.точку внутр круга.

Опишем + ориент-ую окруж-ть L с центром в z0 и радиусом ρ<R так чтоб z оказал. внутри L.Ф-ция f(z) будет аналитич-кая на L и внутри него.Поэтому будет справедлива формула (4) где wϵL.

(5)

Т.к. wϵL а z внутри L,то (6) Поэтому выражение можно рассматривать как сумму сходящ-ся геометрич-кой прогрессии

,при |q|<1

Из (5) и (7) получаем или

(8)

Причем ряд(8)равномерно сходится при любых wϵL и фиксиров-ом z,потому-что как видно из (6) выражение и не зависит от wϵL.Умножая (8) на f(w)/2πi и интегрируя вдоль L получим

В силу(4)

=С0+С1(z-z0)+C2(z-z0)²+..+Cn(z-z0)ⁿ+…(*) где

Доказано,что аналит.ф-ция f(z) в круге |z-z0|<R разлаг-ся в степенн.ряд (*) с коэф-ми то есть в ряд Тейлора. !Привести пример разложений!

10.Ряд Лорана

Т:всякая аналит.в кольце r<|z-z0|<R(1) ф-ция f(z) однознач.представл-ся в этом кольце в виде сходящ-ся ряда (2) где (3) , n=0,+-1,+-2… ϒ-любая окружность |w-z0|<R ориентированная против часовой стрелки.

Док-во:Пусть есть кольца радиуса R,r с центром z0.В кольце(1) возьмем окр-ти R', r' с центром z0 и r<r'<R'<R.По усл.теоремы f(z) аналитична в кольце между окр-ми R' и r',и на самих этих окруж-ях.Поэтому по ф-ле Коши для сложного конткра имеем: (4) где z-любая точка между окр.r' и R',т.е. для любого z:r’<|z-z0|<R’.

А)В первом интеграле(4) точка w обознач.точку окружности R'(wϵR') поэтому

и тогда (5)

Б)Во втором интеграле (4) точка w означает точку окр.r'(wϵr').Поэтому справедлив

и (6)

Подставляя (5) и (6) в (4) и почленно интегрируя получим:

(7) =

Так как ф-ция при любом n аналитична в кольце (1),то в силу Т.Коши интеграл (3) равен подобному интегралу по любой другой окружности,в частности по R' и r'.Поэтому из (7) следует (2) где числа Cn вычисляются по формулам (3). Первый ряд в правой части (2) сходится в круге |z-z0|<R к некоторой аналитич-кой в этом круге ф-ции f1(z).Он назыв-ся правильной частью ряда Лорана.Второй ряд в правой части (2) сходится при |z-z0|>r. Он определяет некоторую аналитич.ф-цию f2(z) называемую главной частью ряда Лорана. Тогда f1(z)+f2(z)=f(z), будет ф-цией, аналитической в кольце r<|z-z0|<R

11.Особые точки и их классификация.

Точка z0 называется нулем ф-ции f(z) порядка n,есои f(z0)=0,f'(z0)=0…f⁽ⁿ⁾(z0)≠0. Если n=1 то это простой ноль. Точка z0 тогда и только тогда яв-ся 0 n-го порядка ф-ции f(z) аналитической в т.z0 когда в нек.окр.этой точки имеет место равенство f(z)=(z-z0)ⁿφ(z), где φ(z) аналитична в т.z0 и φ(z0) ≠0.

Опр:z0 назыв-ся изолир.особ.т.если f(z) однозначная и аналитическая в 0<|z-z0|<R кольце кроме самой точки z0.Ф-цию f(z) в окр.такой т.z0 можно разложить в ряд Лорана При этом возможны три случая:

1)РЛ не содержит членов с отрицат.степенями z-z0 т.е. В этом случае z0 называют устранимой особой точкой.

2)РЛ содержит конечное число членов с отриц.степен z-z0, В этом случае z0 – полюс порядка k.

3)РЛ содержит бесконечное число членов с отриц.степ z-z0 В этом случае z0 называют существенно особой точкой ф-ции f(z).

При опред.хара-ра изол.особ.т-ки пользуются следующими правилами:

1)Для того,чтобы z0 явл-сь устранимой особ т. аналит.ф-ции f(z) необход и дост существования конечного предела где |C|<∞.

2)Чтобы z0 явл-сь полюсом аналитич.ф-ции f(z) необх и дост чтобы

2')Чтобы т.z0 явл-сь полюсом порядка n аналит.ф-ции f(z) необх и дост чтобы f(z) можно было представить в виде где φ(z) ф-цтя аналитич.в т.z0 и φ(z0) ≠0.

2'')Пусть z0 изол особ т.ф-ции где λ(z) и μ(z) ф-ции аналитич.в z0. Если числитель λ(z) и все производные до k-1 порядка включительно в т.z0 =0 а производная k-го порядка≠0, знаменатель μ(z) и все его производные до l-1 поряд. включительно=0 а lая проивзодная в z0≠0,то при l>k точка z0 яв-ся полюсом порядка n=l-k.Если l≤k,то z0 яв-ся устранимой особой точкой ф-ции f(z).

3)Пусть при z→z0 аналит.ф-ция f(z) не имеет предела ни конечного,ни бесконечн. Это условие яв-ся необх и дост чтобы z0 была существенно особой точкой.

12.Вычеты и их вычисление

Пусть z0 изол.особ.т ф-ции f(z).

Опр:вычетом ф-ции f(z) в т.z0 назыв-ся число, обозначаемое Выч_z0f(z) и определяемое равенством где γ замкнутый контур, лежащий в области аналитичности ф-ции f(z) и не содержащий внутри других особ точек ф-ции f(z), кроме z0. Направление интегрирования положительно. Сопостав формул (1) и (3) по Лорану показывает, что Выч ф-ции равен коэф-ту C_-1 в Лорановском разложении f(z) в окр. z0

Замечания:

1)Выч в устраним особ точке равен 0.

2)Выч ф-ции f(z) в полюсе n-го порядка z0 вычисляется по формуле

2')Если в окр z0 f(z) представляется как частное двух аналит.ф-ций,причем λ(z0)=0,μ(z0)=0,μ’(z0)≠0, f(z)=λ(z0)/μ(z0), то z0-полюс первого порядка и

3)Если точка z0 есть сущетсв.особ.точка ф-ции f(z),то вычет вычисляется по формуле (2)

Т:Основная т.Коши о вычетах

Если функция f(z) является аналитической на границе Г области G и всюду внутри нее за исключением конечного числа изолированных особых точек zn, то

14.Преобразование Лапласа и его свойства

Основными первонач.понятиями операц.исчисления явл-ся понятия ф-ции оригинала и ф-ции-изображения.Пусть f(t)-действит.ф-ция действит.переменного t (время или координата).f(t) назыв-ся оригиналом,если она удовл-ет условиям:

1)f(t)≡0,t<0

2)f(t)-кусочно-непрерывная при t≥0 т.е.она непрерывна или имеет точки разрыва I рода,причем на кажд конечном промежутк оси t таких точек лишь конечное число.

3)Сущ.числа M>0 и s0≥,что для всех t выпол-ся |f(t)|≤Me^s0t,т.е.при возрастании t f(t) может возраст не быстрее некоторой показательн.ф-ции.Число s0-показатель роста f(t)

!f(t) мож быть компл.ф-цией действит.переменного f(t)=f1(t)+f2(t)

Изображением оригинала f(t) наз-ся ф-ция F(p) компл.переменного p=s+iσ,опред интегралом .Операцию перехода от оригинала к изображению назыв.преобразованием Лапласа.Обозначается f(t).=’F(p)

Т:существование изображения-для всякого оригинала f(t) изображение F(p) сущ в полуплоскости Rep=s>s0,где s0-показатель роста ф-ции f(t),причем F(p)-аналитич. в этой полуплоскости.

~Если F(p) явл-ся изображением f(t), то

Т:о единственности оригинала:если F(p) служит изображением двух оригиналов f1(t) и f2(t),то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках,в кот.они непрерывны.

Свойства преобразования Лапласа:

1)Линейность-линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений,т.е. если f1(t).=F1(p),f2(t).=F2(p),c1,c2-const,то

c1*f1(t)+c2*f2(t).=c1*F1(p)+c2*F2(p)

2)Подобие-если f(t).=F(p),λ>0,то f(λt).= ,те умножение аргумента оригинала на положительн число λ приводит к делению изображения и его арг.на это число.

3)Смещение(затухание)-если f(t).=F(p),a=const,то e^at*f(t).=F(p-a),те умножение оригинала на функцию e^at влечет за собой смещение переменной p.

4)Запаздывание-если f(t).=F(p),τ>0,то f(t-τ).=e^-pτF(p),те запаздывание оригинала на положительную величину τ приводит к умножению изображения оригинала без запаздывания на e^-pτ

5)Дифференцирование оригинала-если f(t).=F(p) и ф-ции f'(t),f''(t)…f⁽ⁿ⁾(t) явл-ся оригиналами,то:

f’(t).=pF(p)-f(0)

f’’(t).=p²F(p)-pf(0)-f’(0)

f’’’(t).=p³F(p)-p²f(0)-pf’(0)-f’’(0)

……………………………..

f(n)(t).=pⁿF(p)-p^n-1f(0)-…-f^(n-1)(0).

6)Дифференцирование изображения-если f(t).=F(p),то

F’(p).=-tf(t)

F’’(p).=(-1)²t²f(t)

……………

7)Интегрирование оригинала-если f(t).=F(p),то

8)Интегрирование изображения-если f(t).=F(p) и интеграл сходится, то

9)Умножение изображений-если f1(t).=F1(p), f2(t).=F2(p), то

10)Умножение оригиналов- если f1(t).=F1(p), f2(t).=F2(p), то,где путь интегрирования-вертикальная прямая Rez=ϒ>s0

15.Теоремы единственности, подобия, линейности, смещения изображения

Т:единственности-Если две непрерывные ф-ции f(t) и g(t) имеют одно и то же изображение F(p),то они тождественно равны

~Следствие:для любой непрерывной ф-ции f(t),тождественно не равной 0,изображение не может быть периодической функцией.

Док-во: для любого р существует w≠0,что F(p+w)=F(p).

По теореме единственности . Получили противоречие,верно что f(t) непериодическая.

!Изображение простейших функций

Опр:единичной ф-ей или ф-ей Хевисайда наз-ся ф-ция вида Очевид что эта ф-ция удовлетвор.всем условиям оригинала и показатель роста ее S0=0. Найдем изображение этой ф-ции в обл Rep>0.

,

Т:подобия. Если ф-ция f(t) под действием оператора Лапласа переходит в некот. ф-цию f(t).=’F(p), то f(αt).=’

Т:линейности

Преобразование Лапласа линейной комбинации равно линейной комбинации преобразований,где А В действительные числа и если показатели роста ф-ции f_s0(t) g_s1(t) соотв. S₀ и S₁ то изображение L[Af(t)+Bg(t);p] существует в полуплоскости Rep>max{S₀;S₁}

Т:смещений

Преобразование Лапласа L[f(t)e^-αt;p]=L[f(t);p+α] где Re(p+α)>S₀

Пример: найти оригинал,если известно изображение

Известно что: , , … .