28.Обработка статист.Данных.Методы моментов и максим.Правдоподобия.

Произод-ся некая серия опытов.Все множество возможн.рез-тов назыв-ся генераль совокупностью.Конкретная послед-ть рез-тов проводимой серии опытов наз-ся выборкой.При этом кол-во опытов наз-ся длиной или объемом выборки.В серии бросаний кости генеральн совок-ть это множество {1,2,3,4,5,6} а выборк мож быть {1,3,6,2,3,2,1,4},n=8 длина выборки.В дальней.считаем что в серии опытов исслед случ.величина а значит новая выборка предст.собой некий набор чисел.

Первич.обраб-ка статист.данных заключ-ся в след.-из получ.выборки выпис-ся все различ.значения(варианты выборки)и располаг-ся в порядке возрастания,затем для кажд.варианты xi указ-ся ее абсолютная частота Mi-колво этой варианты в данной выборке,либо ее относит.частота-тоесть абсолютная деленная на длину выборки.

Xi	X1	X2	…	Xn	…
mi/n	m1/n	m2/n	…	mn/n	…

Получ.таблица носит название статистический ряд. Относит.частота варианты Xi явл-ся статистич.аналогом вероятн-ти того,что случ.величина приняла значение Xi.По стати.ряду можно оценить матожидание и дисперсию исследуемой случ.величины. Для оценки матожидания испо-ся выборочное среднее,обозначаемое М*_х,М,Х,ξ и равное

. Для оценки дисперсии исп-ся выборочная дисперсия D*_x,D и равная

или

. Для оценки величины σ исп-т выворочное среднеквадратич.отклонение σ*_х,σ,

. Выборочное среднее удовл-т всем треб-ям,предъявленным точечными оценками (несмещенность,состоятельность,эффективность).Выборочная дисперсия не явл-ся несмещенной.Поэтому для оценки дисперсии и оценки среднеквадратического отклонения исп.исправленную выборочную дисперсию

и исправ-ое среднеквадр.отклонение

.Они удовл-т перечисл.требованиям.При вычислении выборочного среднего и выборочной дисперсии для облегч расчетов применяют 2 приема:введение ложного нуля и введение масштабного коэф-та. При введении ложного нуля все варианты Xi исх.выборки сдвиг-ся на одно и то же знач-ие Xo(ложный ноль) и рассматр-ся новая выборка с вариантами yi=xi-x0

~Пусть известен закон распред-я случ.величины ξ,но неизвестны конкрет знач-я параметров этого закона.Стави задача по данной выборке оценить неизв.парам-ры. Для решения задачи исп-ся метод моментов и максправдоподоб.

1)Метод моментов:пусть k-колво неизвестных параметров закона распред-я.По виду закона распр-я находим K-начальных моментов случ.величины М_ξ1,М_ξ2,М_ξ3…М_ξ_k_,,каждый из кот.зависит от неизв.парам-ов,и приравниваем их к соответствующим выборочным моментам ξ, ξ², ξ³…ξ^kПолучаем K уравнений с k неизв.парам-ми

Решение этой системы уравн-й берем в кач-ве точеч-х оценок неизв-х параметров.

2)Метод максимального правдоподобия

заключ-ся в том,что среди всех допустимых значений параметра выбир-ся те,при которых именно данная выборка явл-ся наиболее вероятной среди всех выборок данной длины.Для этого составляется ф-ция правдоподобия L, зависящая от неизвестных параметров и ставящая в соответствие каждому набору парам-ов вероятность осущ-ия данной выборки.Эта ф-ция исследуется на максимум. Иногда удобно исследовать не саму L а ее lnL.Значение парам-ов при котор.достиг-ся максимум,принимается в кач-ве точечных оценок неизвестных парам-ов.

Пример:исслед-ся колво вызовов,поступивших на АТС за 1 сек,распределенное по закону Пуассона с наизв.парам-ом λ.Проведена серия испытаний и получена выборка:

Xi	0	1	2	3	4	5	6	7
mi	372	276	201	122	8	17	3	1

Методом максимального правдоподобия оценить λ.

Решение:Для Пуассона вер-ть принятия случайной величиной значения m равна

Составим ф-цию правдоподобия именно для данной выборки:

;

Пример:проведена серия из 20 измерений напряжения в сети переменного тока. Получена выборка.Составить статист.ряд,найти выборочное среднее,выб.дисперсию,исправленную выборочную дисперсию.

220.1;218.9;219.4;220.6;218.9;219.3;220.1;220.6;221.0;220.3;220.6;220.1;219.7;

219.4;219.0;219.3;218.9;219.8;220.1;220.3

Решение:выбер все вар-ты,распол.в порядке возрастания и укаж.абсолют.частоты.