Поле провода круглого сечения

Поле вне провода r ≥ r₀ определяется по закону полного тока: Н=H_α= I/2πr или В=В_α= μμ₀ I/2πr. Учитывая, что B = rot A и В_α=- ∂A_z/∂r, можно получить распределение векторного потенциала, а он параллелен току и оси OZ.

A_e=- (μμ₀ I/2π)ln r+C_e

При этом (A(r₀) - A(r))l – поток вектора магнитной индукции сквозь полосу (r – r₀)l вне провода Ф=(μμ₀ Il/2π)ln( r/ r₀). Но Ф→∞ при r→∞.

Напряженность внутреннего магнитного поля r ≤ r₀

H=1/(2πr)(Iπr²/(πr₀²))=Ir/(2πr₀²),

а векторный потенциал

А_i=-μμ₀ Ir²/(4πr₀²)+С_i.

Постоянная интегрирования может считаться равной нулю С_i=0, а C_e определяется из условия равенства A_e= А_i на поверхности провода r= r₀.

Энергия магнитного поля внутри провода на единицу длины

, отсюда внутренняя индуктивность L_вн= μμ₀/8π.

Выражения для взаимной и собственной индуктивностей

тонких проводов

Рассматриваются расчеты индуктивностей контуров, поперечные размеры сечений которых малы по сравнению с длиной контуров и с расстоянием между ними. Векторный потенциал в центре элемента dl₂ проводника второго контура можно вычислить по формуле

Потокосцепление Ψ₂₁ при этом может быть принято равным потоку Ф₂₁ сквозь поверхность, ограниченную осью проводника второго контура

.

Разделив Ψ₂₁ на i₁, можно получить

.

Эта формула может использоваться для вычисления внешней индуктивности контура из тонкого провода, если предположить, что ток течет по оси провода и l₁ – ось проводника. Контур l₂ – внутренняя поверхность проводника (по отношению к Ψ_внеш, линии магнитной индукции которого охватывают весь проводник).

Для провода конечного размера l и радиуса r

L_внеш=μμ₀l/2π(ln(2l/r)-1); L_вн= μμ₀l/8π.

Для двухпроводной линии с расстоянием между осями D и радиуса r

М₁₂=μμ₀l/2π(ln(2l/D)-1); L=μμ₀l/2π(ln(D/r)+1/4).

Индуктивность трехфазной линии

В каждом проводе трехфазной линии передачи индуктируется не только ЭДС самоиндукции, обусловленная переменным током в этом проводе, но также и ЭДС взаимной индукции, обусловленная токами в других проводах. Взаимные индуктивности М₁₂, М₂₃ и М₃₁ между проводами при их несимметричном расположении отличаются друг от друга и падения напряжения в проводах при синусоидальных токах описываются выражениями:

U₁=(r+jωL)I₁+jωM₁₂I₂+ jωM₁₃I₃;

U₂=(r+jωL)I₂+jωM₂₃I₃+ jωM₂₁I₁;

U₃=(r+jωL)I₃+jωM₃₁I₁+ jωM₃₂I₂.

Если токи в линии образуют симметричную систему, т.е. I₂=a²I₁; I₃=aI₁, то

U₁=[r+jω(L+a²M₁₂+aM₁₃)]I₁;

U₂=[r+jω(L+a²M₂₃+aM₂₁)]I₂;

U₃=[r+jω(L+a²M₃₁+aM₃₂]I₃.

Выражения в круглых скобках вещественны только в случае симметричного расположения проводов М₁₂=М₂₃=М₃₁=М,(а²+а=-1).

Тогда

U₁=[r+jω(L-М)]I₁;

U₂=[r+jω(L-М)]I₂;

U₃=[r+jω(L-М)]I₃.

Разность (L-M)=L′ можно рассматривать как эквивалентную индуктивность одного провода. Индуктивность L уединенного провода длиной l и с радиусом r сечения выражается формулой

L= L_внеш+ L_вн =μμ₀l/2π(ln(2l/r)-1)+ μμ₀l/8π.

Взаимная индуктивность М между проводами длиной l и с расстоянием между осями D

М=μμ₀l/2π(ln(2l/D)-1).

Таким образом,

L′=L-M= μμ₀l/2π(ln(D/r)+1/4).

При несимметричном расположении проводов расстояния между проводами не равны друг другу: D₁₂ ≠ D₂₃ ≠ D₃₁.

Однако, если через равные интервалы вдоль линии осуществлена транспозиция проводов, то выражение для L′ сохраняет свой вид, если под М понимать среднее значение взаимной индуктивности для трех участков линии:

М=1∕3(М₁₂+М₂₃+М₃₁)= μμ₀l/2π(ln(2l/D′)-1),

где D′=(D₁₂ D₂₃ D₃₁)^1∕3.

ПЕРЕМЕННОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Теорема Умова – Пойнтинга

Уравнение баланса мощности для единичного объема можно получить, если обратиться к первому и второму уравнениям Максвелла, предварительно заменив в них D и Н соответственно εε₀Е и μμ₀Н:

rot H=J + εε₀∂Е∕∂t;

rot Е = – μμ₀∂Н∕∂t.

Умножив скалярно первое уравнение на Е, второе – на Н и взяв их разность, можно получить

Е rot H – Н rot Е= JЕ+ εε₀(∂Е∕∂t)Е+ μμ₀(∂Н∕∂t)Н. (а)

Левую часть этого уравнения можно представить в виде

Е rot H – Н rot Е= – div[EH].

Первое слагаемое правой части уравнения (а) легко преобразовать, воспользовавшись законом Ома (J=γ (Е+E_стор))

JЕ= J(J∕ γ – E_стор)= J²∕ γ – J E_стор.

Второе и третье слагаемые правой части уравнения (а) можно представить в виде

εε₀ Е ∂Е∕∂t + μμ₀ Н ∂Н∕∂t= ∂∕∂t(1∕2 εε₀Е²+1∕2 μμ₀Н²).

После преобразования уравнения (а)

– div[EH]= J²∕ γ – J E_стор+∂∕∂t(1∕2 εε₀Е²+1∕2 μμ₀Н²). (в)

Это и есть уравнение, выражающее баланс мощности в единичном объеме. Действительно, первое слагаемое правой части представляет собой удельную (отнесенную к единице объема) мощность тепловых потерь (она положительна). Второе слагаемое – удельная мощность сторонних сил. Наконец, последнее слагаемое выражает необходимую мощность для увеличения плотности энергии электромагнитного поля. И если правая часть уравнения (в) положительна, то удельная мощность – мощность потребления и она обеспечивается отрицательным удельным потоком вектора [EH] через замкнутую поверхность, ограничивающую (единичный) объем. Вектор П=[EH] (Вт∕м²) называют вектором Пойнтинга. Он определяет мощность потока электромагнитной энергии, отнесенной к единице поверхности, нормальной направлению распространения волны. Уравнение (в) выражает теорему Умова – Пойнтинга. Вектора Е,Н и v взаимно перпендикулярны.