Уравнения Пуассона и Лапласа

Подстановка в уравнения электростатики div D=ρ, rot Е=0, D=εε₀Е выражения напряженности поля через потенциал Е= –gradφ, автоматически удовлетворяет второе уравнение (rot grad.≡0), и при ε= const приводит к уравнению Пуассона

div grad φ= –ρ/εε₀ или

∂²φ∕∂x²+∂²φ∕∂y²+∂²φ∕∂z²= –ρ/εε₀.

Уравнение Пуассона – дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка. Интеграл

,

является решением уравнения Пуассона, когда заряды распределены в конечной области однородного пространства.

Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют объемные электрические заряды, то уравнение Пуассона получает вид

∂²φ∕∂x²+∂²φ∕∂y²+∂²φ∕∂z²=0

и называется в этом частном случае уравнением Лапласа.

Единственность решения задач Дирихле или Неймана

Условия существования единственного и физически разумного решения задачи Пуассона (или Лапласа) внутри ограниченного объема V требует задания потенциала на замкнутой (краевой) поверхности S (граничные условия Дирихле) – это задача Дирихле. Или задание нормальной производной от потенциала на граничной поверхности S (что соответствует заданию распределения поверхностного заряда) – граничные условия Неймана и задача становится задачей Неймана.

Чтобы доказать единственность решения уравнения Пуассона divgradφ=–ρ/εε₀ при граничных условиях Дирихле или Неймана предположим обратное , что существует два решения φ₁ и φ₂, удовлетворяющие одним и тем же граничным условиям и положим U= φ₂- φ₁.

Тогда divgradU=0 (или ∆U=0) внутри объема и U=0 или ∂U∕∂n=0 на границе для граничных условий Дирихле или Неймана.

Рассмотрим вектор A=UgradU тогда divA=div(UgradU)=UdivgradU+(gradU)².

По теореме Остроградского – Гаусса

.

Учитывая свойства функции U, оба граничных условия приводят к соотношению , откуда следует, что gradU=0. Таким образом, внутри объема V функция U постоянна. Для граничных условий Дирихле U=0 на границе S, так что внутри V всюду φ₂= φ₁ и решение единственно. Для граничных условий Неймана решение также единственно с точностью до аддитивной постоянной. Смешанная граничная задача также имеет единственное решение.

Следствия теоремы.

1.Электростатическое поле в некотором объеме, ограниченном равно потенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т.е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

2. Электростатическое поле по одну сторону поверхности S не изменится, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Граничные условия на поверхности проводников

Так как в электростатическом поле токи отсутствуют, то внутри проводников всюду должно быть Е=0 и потенциал всех его точек имеет одно и тоже значение. Поверхности проводников – поверхности равного потенциала, и линии напряженности поля в диэлектрике нормальны к ним Е_t=0. При этом, с учетом теоремы Гаусса D=-ε∂φ∕∂n=σ, где σ – плотность электрического заряда на поверхности проводника. Итак

D=σ, φ=const.

Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков

На границе раздела двух однородных и изотропных диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями ε₁ и ε₂ находящихся в электрическом поле, напряженность и электрическая индукция которого удовлетворяют уравнениям и (на границе раздела отсутствуют свободные заряды) непрерывны касательные составляющие вектора Е и нормальные составляющие вектора D.

E_1t=E_2t, D_1n=D_2n.

Соотношение D=ε ε₀Е позволяет эти условия переписать в виде

ε₁∂φ₁∕∂n= ε₂∂φ₂∕∂n (или ε₁ E₁= ε₂ E₂),

φ₁= φ₂.

На границе диэлектриков возникает поверхностная плотность связных зарядов σ_связ= ε₀(Е_2n – Е_1n).