Проводящий цилиндр в однородном поле

Пусть потенциал однородного поля Е₀ направленного вдоль оси х в цилиндрической системе координат φ₀=-E₀r cos α+C, краевые условия Дирихле задачи расчета поля незаряженного проводящего цилиндра в однородном поле таковы:

3. на поверхности цилиндра потенциал постоянен φ(r=a)=const=0,

4. при r→ ∞ должен сохраняться потенциал однородного поля φ₀=-E₀r cos α (C=0 при θ=π∕2).

Решение задачи упрощается, если принять во внимание, что при внесении проводящего цилиндра в поле, благодаря электростатической индукции на поверхности цилиндра образуются поверхностные заряды, поле которых эквивалентно полю двух смещенных на d (p=τd) равномерно заряженных осей φ_р = p cos α /(2πεε₀r), а потенциал поля

φ= φ₀+ φ_р=-E₀ r cos α+ p cos α /(2πεε₀ r).

Выполнение граничного условия φ(r=a)=0 будет удовлетворено, если р∕2πεε₀=Е₀ а² и окончательно

φ=E₀ cos α (a²/r-r).

Напряженность поля имеет две составляющие

E_r=-∂φ∕∂r=(a²/r²+1)E₀ cos α,

E_α=-(1/r)∂φ∕∂α=(a²/r²-1)E₀ sin α.

На поверхности цилиндра (r=a) E_r=2E₀ cos α и на полюсах (α=0,π) наибольшее значение поля равно 2Е₀.

Метод средних потенциалов для расчета емкостей проводов

Для расчета емкости проводов конечной длины используется приближенный метод, основанный на предположении, что заряд (а не потенциал) распределяется равномерно по поверхности проводников и для линейных проводников – равномерно по их длине. После вычисления распределения потенциала по поверхности или по длине проводников, в формулу для емкости вводится среднее значение вычисленных таким образом потенциалов проводников. Хотя метод и основан на предположении, не соответствующем реальным условиям, в ряде случаев дает достаточно точные результаты.

Пусть имеются два провода, длины которых l₁ и l₂. Потенциал в некоторой точке первого провода, определяемый зарядом q₂, равномерно распределенным вдоль второго провода τ₂= q₂∕ l₂, будет равен

.

Среднее значение потенциала первого провода получается в результате интегрирования вдоль первого провода:

.

Потенциальный коэффициент α₁₂ определяется формулой

,

и для параллельных проводов расположенных на расстоянии D друг от друга и имеющих одинаковые длины l₁ = l₂= l, когда концы проводов лежат на одном перпендикуляре к ним, он равен

α₁₂=(1∕2πεε₀l)(Arsh(l/D)-(D²/l²+1)^1/2+D/l).

Потенциальные коэффициенты α₁₁ и α₂₂ получаются при замене D на r₀.

α₁₁=(1∕2πεε₀l)(Arsh(l/ r₀)-( r₀ ²/l²+1)^1/2+ r₀/l).

При l>> r₀ будет

Arsh(l/ r₀)-( r₀ ²/l²+1)^1/2+ r₀/l ≈ln(2l/ r₀)-1.

Емкость провода конечной длины

С=1∕ α₁₁ ≈2πεε₀l∕( ln(2l/ r₀)-1),

а емкость между проводами

С=1∕(2(α₁₁ - α₁₂)) ≈πεε₀l∕ ln(D/ r₀),

что совпадает с формулой для емкости двухпроводной линии.

ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Уравнения поля постоянных токов

Постоянные токи в неподвижных проводниках и проводящих средах создают как в среде, окружающей проводники, так и в самих проводниках постоянные электрические и магнитные поля, которые называют стационарными.

Первое уравнение Максвелла rot H=J в этом случае указывает, что Н, а следовательно, и В, так же как и J, не зависят от времени. Поэтому из второго уравнения Максвелла rot Е=–∂В∕∂t следует, что вне источников ЭДС rot Е=0.

Таким образом, уравнения электромагнитного поля для постоянных токов в неподвижной проводящей среде вне источников ЭДС приобретает вид

rot H=J; rot Е=0; J=γЕ; D=ε ε₀Е, В=μμ₀Н, div D=ρ; div В=0.

Условие rot Е=0 свидетельствует, что вне источнике ЭДС электрическое поле постоянных токов является потенциальным. Для его характеристики может быть введена функция φ(x,y,z), называемая электрическим потенциалом, причем Е= – gradφ.

Так как div rot H=0, то следствием уравнения rot H=J оказывается уравнение divJ=0 – следствие закона сохранения заряда.

Электрическое поле и поле вектора плотности тока в проводящей среде вне источников ЭДС характеризуются системой уравнений:

divJ=0; rot Е=0; J=γЕ.