Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

1. Закон полного тока. Переход от интегральной формы записи закона полного тока к дифференциальной осуществляется с помощью теоремы Стокса

.

В результате получается:

rot H=J+∂D∕∂t.

Направление вихревого магнитного поля связано с направлением полного тока правилом правого винта.

2. Закон электромагнитной индукции. Из теоремы Стокса

следует

rot Е=–∂В∕∂t.

Изменение магнитной индукции во времени создает вихревое электрическое поле, направление которого связано с направлением ∂В∕∂t правилом левого винта.

3. Постулат Максвелла. Переход от интегральной формы записи постулата Максвелла к дифференциальной осуществляется с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.

В результате получается:

div D=ρ.

Поток вектора электрической индукции сквозь замкнутую поверхность равен заряду внутри замкнутой поверхности.

4. Непрерывность линий магнитной индукции.

div В=0.

Поток вектора магнитной индукции сквозь замкнутую поверхность равен нулю. Линии магнитной индукции замкнуты и не имеют ни истоков, ни стоков.

Соотношения между векторами поля и параметрами среды D=ε ε₀Е, В=μμ₀Н, J=γ (Е+E_стор) дополняют уравнения Максвелла.

Замкнутость линий полного тока Закон сохранения заряда

Из первого уравнения Максвелла

rot H=J+∂D∕∂t,

где J+∂D∕∂t – вектор плотности полного тока, следует ( с учетом div rot.≡0):

div(J+∂D∕∂t)=0

непрерывность линий вектора полного тока, они всегда замкнуты и не имеют ни истоков, ни стоков.

Преобразования divJ= – div∂D∕∂t= – ∂∕∂t(divD)= –∂ρ∕∂t приводят к уравнению непрерывности:

divJ=–∂ρ∕∂t.

Дивергенция плотности тока проводимости равна скорости убывания плотности объемных зарядов (закон сохранения заряда).

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

Уравнения электростатики

Электростатическое поле – поле неподвижных зарядов при отсутствии электрических токов и магнитных полей (намагниченных тел).

При условии J=0, B=0, H=0 из системы уравнений ЭМП остаются уравнения электростатики.

div D=ρ, rot Е=0, D=ε ε₀Е.

Условие rot Е=0 свидетельствует, что электростатическое поле имеет безвихревой характер. Поле, удовлетворяющее этому условию, называют потенциальным. Для любого контура:

=0.

Таким образом, условие rot Е=0 выражает в дифференциальной форме положение: в электростатическом поле линейный интеграл вектора Е, вдоль любого замкнутого контура равен нулю. Соответственно в электростатическом поле линейный интеграл вектора Е, взятый от точки А до точки В, не зависит от выбора пути интегрирования и полностью определяется положением точек А и В. Это дает возможность ввести понятие о потенциале электростатического поля.

Потенциал электростатического поля в точке А определяется как линейный интеграл вектора Е, взятый от точки А до некоторой точки Р, потенциал которой равен нулю

.

Если записать приращение потенциала Еdl=φ₁ – φ₂= –dφ, то

Еdl= –[(∂φ∕∂x)dx+(∂φ∕∂y)dy+(∂φ∕∂z)dz]= –gradφ∙dl или

Е= –gradφ= –[(∂φ∕∂x)i+(∂φ∕∂y)j+(∂φ∕∂z)k], [E]=B/м.

Градиент потенциала равен приращению потенциала, отнесенному к единице длины и взятому в направлении наибольшего приращения. Векторы Е и gradφ равны по величине и направлены в противоположные стороны.

Если направление перемещения перпендикулярно напряженности поля, то приращение потенциала равно нулю. Следовательно, линии напряженности поля нормальны к поверхностям равного потенциала.

Потенциал и напряженность поля уединенного точечного заряда q на расстоянии r от него в однородной и изотропной среде равны

φ =(1/4πεε₀)q/r, E =(1/4πεε₀)q/r∙r/r,

принимается равным нулю потенциал бесконечно удаленных точек.