Аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем

Для электрического поля токов в проводящей среде имеют место соотношения:

divJ=0; rot Е=0; J=γЕ.

Они формально совпадут с соотношениями для электростатического поля в диэлектрике:

div D=ρ, rot Е=0, D=ε ε₀Е,

если в последних заменить вектор электрической индукции D вектором плотности тока J, электрический заряд q=∫Dds – током I=∫Jds и абсолютную диэлектрическую проницаемость ε ε₀ – удельной проводимостью γ.

На этом основан метод электростатической аналогии, позволяющий при расчете токов в проводящей среде воспользоваться готовыми решениями соответствующих задач электростатики.

В частности, формулы для электрической проводимости G=I/U сред, в которых протекает ток, могут быть получены из соответствующих формул для емкости C=q/U тел.

Так проводимость изоляции кабеля G₀=2πγ/ ln(r₂/r₁) получена на основании аналогии с использованием формулы eмкости кабеля.

Аналогия полей позволяет записать соотношение между касательными и нормальными составляющими векторов напряженности электрического поля и плотности электрического тока на поверхности раздела двух проводников с различными удельными электрическими проводимостями:

E_1t=E_2t, J_1n=J_2n.

Они непрерывны.

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ

Уравнения магнитного поля постоянных токов

Из уравнений электромагнитного поля для постоянных токов в неподвижной проводящей среде вне источников ЭДС уравнения магнитного поля имеют вид

rot H=J; В=μμ₀Н; div В=0.

Первое уравнение свидетельствует о том, что магнитное поле токов является вихревым (не является потенциальным).

Но эти уравнения позволяют сформулировать граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями.

Н_1t=Н_2t, В_1n=В_2n.

Касательные составляющие векторов напряженности магнитного поля и нормальные составляющие векторов магнитной индукции на поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями непрерывны.

Скалярный потенциал магнитного поля в области вне токов

В области, где плотность тока равна нулю, rot H=0 и следовательно, в этой части пространства можно представить H в виде

H= –gradφ_м.

Величину φ_м называют скалярным потенциалом магнитного поля.

Понятием скалярного магнитного потенциала можно пользоваться только в той области пространства, где J=0. Однако и в этой части пространства φ_м является многозначной функцией. Действительно, линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по любому замкнутому контуру, не охватывающему проводник с током равен нулю: , а интеграл равен магнитному напряжению U_MAB. Однако если выбрать такой путь интегрирования между точками АВ, который охватывает ток к раз, то линейный интеграл напряженности магнитного поля, взятый по такому пути уже не будет равен U_MAB, он увеличится на ki. Таким образом, скалярный магнитный потенциал оказывается величиной многозначной.

Магнитное экранирование

Для защиты электроизмерительных приборов от влияния посторонних магнитных полей их системы помещают в массивные замкнутые или почти замкнутые оболочки из ферромагнитного материала. Такие оболочки называют магнитными экранами. Поле внутри экрана оказывается ослабленным по сравнению с внешним полем.

Для экрана в виде полого цилиндра с радиусами r₁ и r₂, с магнитной проницаемостью стенок μ>>1 и осью перпендикулярной полю

Н∕Н₀ ≈ 4 r₂²∕(μ(r₂²- r₁²))

экранирующее действие тем больше, чем больше μ и чем больше толщина стенки (r₂- r₁).

Векторный потенциал магнитного поля

Вектор магнитной индукции можно представить в виде вихря некоторого вспомогательного вектора А:

B = rot A,

причем вектор А при заданном распределении в пространстве электрических токов является функцией координат.

Вектор А называется векторным потенциалом магнитного поля. Его определяют так, чтобы уравнения магнитного поля

rot H=J; В=μμ₀Н; div В=0

были удовлетворены во всем пространстве – и там, где J≠0, и там, где токи отсутствуют.

Условие div В=0, выражающее принцип непрерывности магнитного потока, удовлетворяется тождественно, если В представить через А в виде B = rot A, так как div rot A≡0.

Уравнение для векторного потенциала определяют оставшиеся соотношения rot H=J; В=μμ₀Н. Для однородной среды μ=const

μμ₀ rot H= rot μμ₀ H= rot В= μμ₀J,

или

rot rot A = μμ₀J,

но rot rot A=grad div A- div grad A= grad div A - ∆A, и тогда

div grad A= – μμ₀J+ grad divА .

Можно считать, что поле вектора А не имеет источников, т.е. divА=0. Действительно, при условии divА≠0 всегда можно принять А=А′+А″, причем divА′=0 и divА″≠0. Поле составляющей А″ как созданное источниками является потенциальным, и, следовательно, rot A″=0. Поэтому B = rot A = rot A′, т.е. наличие составляющей А″ не изменяет величину В и можно принять A″=0. Окончательно:

div grad A= – μμ₀J.

Это уравнение Пуассона и его решение для однородной среды можно записать:

.

Соотношение B = rot A неоднозначно, так как оно не изменяет вида при добавлении к A′+gradψ (А″= gradψ).

Выражение магнитного потока и энергии магнитного поля

через векторный потенциал

Магнитный поток Ф сквозь некоторую поверхность s

.

Согласно теореме Стокса .

.

Магнитный поток сквозь поверхность s равен линейному интегралу векторного потенциала по замкнутому контуру, ограничивающему эту поверхность.

Интегрирование по поверхности заменяется интегрированием по контуру , что во многих случаях оказывается весьма полезным.

Вычисление энергии магнитного поля в объеме на основе выражения

сопряжено с большими затруднениями, так как необходимо рассчитывать напряженность Н и индукцию В во всех точках бесконечного пространства.

Если воспользоваться выражением div [AH]=H rot A – A rot H, или

H rot A = A rot H + div [AH], можно получить

.

Второе слагаемое стремится к нулю, поэтому

,

что позволяет ограничить вычисление интеграла лишь той частью объема, в которой плотность электрического тока не равна нулю.