Емкость двухпроводной линии с учетом влияния земли

Два длинных провода (длиной l) радиуса R протянуты параллельно поверхности земли; расстояние между проводами d, высота подвеса h₁ и h₂. Радиусы проводов весьма малы по сравнению с расстоянием между их осями и с высотой подвеса. В таком случае проще всего определяются потенциальные коэффициенты.

Поле заряженного первого провода при отсутствии заряда на втором будет таким же, как и при одном проводе над поверхностью земли, так как искажением поля вследствие существования второго провода можно пренебречь ввиду малости их сечений.

α₁₁=(1/2πεε₀l) ln2h₁/R. Аналогично: α₂₂=(1/2πεε₀l) ln2h₂/R.

Коэффициенты α₁₂=α₂₁ можно определить, если заметить, что незаряженные провода ввиду малости их сечений принимают в поле заряженного провода те потенциалы, которые получаются в местах их расположения и при их отсутствии.

α₁₂=α₂₁=(1/2πεε₀l) lnD/d.

Здесь D – расстояние между осью провода и изображением оси соседнего.

Если к проводам подведено напряжение незаземленного источника, то провода заряжаются так q₁=- q₂= q.

φ₁=α₁₁q₁+ α₁₂q₂=(α₁₁ - α₁₂ )q;

φ₂=α₂₁q₁+ α₂₂q₂=(α₂₁ - α₂₂ )q;

φ₁ - φ₂=U=(α₁₁+ α₂₂-2 α₁₂)q.

Откуда С=1/(α₁₁+ α₂₂-2 α₁₂) или С=С₁₂+С₁₁ С₂₂/( С₁₁+ С₂₂). И С ≈ πεε₀/ lnd/R

при h₁ = h₂= h, как и для емкости двухпроводной линии без учета влияния земли.

Емкость трехфазной линии

При несимметричном расположении проводов некоторое количество энергии передается за период путем электростатической индукции из одной фазы в другую. Это своеобразное явление обусловливает несимметрию токов при симметричных напряжениях. Несимметрия токов определяется не только появлением разных по значению и по знаку активных составляющих, но также и различных реактивных составляющих вследствие того, что емкости проводов различны.

Чтобы линию, можно было рассматривать в среднем как симметричную, вводят круговую перестановку проводов, когда через равные расстояния изменяют расположение проводов на опорах так, что постепенно осуществляется круговая перестановка (транспозиция) проводов. В среднем для всей линии не будет иметь места передача энергии за период из одной фазы в другую путем электростатической индукции.

В уравнения для потенциальных коэффициентов

φ₁=α₁₁q₁+ α₁₂q₂+ α₁₃q₃;

φ₂=α₂₁q₁+ α₂₂q₂+ α₂₃q₃;

φ₃=α₃₁q₁+ α₃₂q₂+ α₃₃q₃

вводят их средние для всей линии значения

α₀=(α₁₁+α₂₂+α₃₃)/3; α_м=(α₁₂+α₂₃+α₁₃)/3.

В симметричной линии при симметричной системе напряжений заряды q₁, q_2, q₃ образуют также симметричную систему, т.е. q₂=а² q₁, q₃=а q₁. Уравнения в этом случае приобретают вид

φ₁=α₁₁q₁+ α₁₂q₂+ α₁₃q₃=[ α₀+(a+a²) α_м] q₁=( α₀ - α_м) q₁;

φ₂=α₂₁q₁+ α₂₂q₂+ α₂₃q₃=( α₀ - α_м) q₂;

φ₃=α₃₁q₁+ α₃₂q₂+ α₃₃q₃=( α₀ - α_м) q₃.

Емкость провода относительно земли равна С =1/( α₀ - α_м),

где – α₀=(1/2πεε₀l)(1/3)[ ln2h₁/R₁+ ln2h₂/R₂+ ln2h₃/R₃];

α_м=(1/2πεε₀l)(1/3)[ lnD₁₂/d₁₂+ lnD₂₃/d₂₃+ lnD₃₁/d₃₁].

Таким образом,

.

Метод разделения переменных Проводящий шар в однородном поле

В случае плоскомеридианального поля уравнение Лапласа в сферической системе координат имеет вид

∂/∂R(R²∂φ∕∂R)+1/(sin θ)∂∕∂θ(sin θ ∂φ∕θ)=0.

В соответствии с методом разделения переменных решение этого уравнения можно искать для φ в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной координаты:

φ(R,θ)=M(R)N(θ).

После подстановки в уравнение Лапласа и деления на произведение MN переменные разделяются:

(1/M)d/dR(R²dM/dR)=-1/(N sin θ)d/dθ(sin θdN/dθ).

Очевидно, при изменении R или θ каждая часть уравнения должна оставаться постоянной и равной постоянной разделения. Тем самым решение уравнения с частными производными сведено к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Учитывая, что потенциал однородного поля Е₀ направленного вдоль оси z в сферической системе координат φ₀=-E₀R cos θ+C, краевые условия Дирихле задачи расчета поля незаряженного проводящего шара в однородном поле таковы:

1. на поверхности шара потенциал постоянен φ(R=a)=const=0,

2. при R→ ∞ должен сохраняться потенциал однородного поля φ₀=-E₀R cos θ (C=0 при θ=π∕2).

Решение задачи упрощается, если принять во внимание, что при внесении проводящего шара в поле, благодаря электростатической индукции на поверхности шара образуются поверхностные заряды, поле которых эквивалентно полю диполя φ_р = p cos θ /(4πεε₀R²), а потенциал поля

φ= φ₀+ φ_р=-E₀R cos θ+ p cos θ /(4πεε₀R²).

Выполнение граничного условия φ(R=a)=0 будет удовлетворено, если р∕4πεε₀=Е₀а³ и окончательно

φ=E₀ cos θ (a³/R²-R).

Напряженность поля имеет две составляющие

E_R=-∂φ∕∂R=(2a³/R³+1)E₀ cos θ,

E_θ=-(1/R)∂φ∕∂θ=(a³/R³-1)E₀ sin θ.

На поверхности шара (R=a) E_R=3E₀ cos θ и на полюсах (θ=0,π) наибольшее значение поля равно 3Е₀.