Поле электрического диполя

Пусть требуется определить потенциал и напряженность поля диполя с зарядом q и плечом l. Задача решается в сферической системе координат(R,θ,α), начало которой совмещено с центром диполя, а полярная ось (ось О) совпадает с осью диполя.

Потенциал в точке (R,θ) по принципу наложения:

φ=φ₊ + φ_-=q/(4πεε₀R₁) - q/(4πεε₀R₂)= q/(4πεε₀)(R₂-R₁)/R₂R₁.

При l - малом по сравнению с расстояниями от зарядов R₁, R₂ до рассматриваемой точки, можно принять

R₁ R₂ ≈ R²; R₂-R₁ ≈ l cos θ.

В результате

φ = ql cos θ /(4πεε₀R²)= p cos θ /(4πεε₀R²),

где р – момент диполя.

Имеется две составляющие вектора Е:

E_R= –∂φ∕∂R = 2 p cos θ /(4πεε₀R³),

E_θ= –∂φ∕R∂θ = p sin θ /(4πεε₀R³).

Решение уравнения линий напряженности dR/E_R=Rdθ/E_θ : R=A sin² θ, а уравнение линий равного потенциала: R²=B cos θ,

где А и В – параметры семейств.

Поле заряженного отрезка

В однородном диэлектрике вдоль прямолинейного отрезка длиной 2l равномерно распределены заряды с линейной плотностью τ = Q/2l. Найти потенциал поля.

Начало цилиндрической системы координат (r,α,z) помещается в середину отрезка и определяется потенциал от каждого элементарного его участка dφ = dQ/(4πεε₀R)=τdx/(4πεε₀(r²+(z - x)²)^1/2).

Результирующий потенциал

.

Потенциал на поверхности провода (z=0, r=d/2) при d/l<<1

φ ≈ Q/(4πεε₀l) ln(4l/d).

Емкость цилиндра С=(4πεε₀l)/ ln(4l/d).

Поле бесконечно длинной равномерно заряженной оси

Пусть ось z цилиндрической системы координат совпадает с равномерно заряженной осью с зарядом τ на единицу длины и расположенной в однородном диэлектрике. В любой точке на поверхности цилиндра радиуса r и образующей L вектор D лишь радиальную составляющую постоянную на этой поверхности. Тогда по теореме Гаусса:

; D 2πrl = τl, откуда

D =τ/2πr; E= τ/2πεε₀ r.

Но E=-dφ/dr и поэтому φ=-∫Еdr = -(τ/2πεε₀)ln r+A.

Поле и емкость коаксиального кабеля

Коаксиальный кабель представляет собой двухпроводную линию двух разделенных изоляцией (ε) цилиндров (с радиусами r₁ и r₂) с совпадающими осями. Так как поле кабеля обладает осевой симметрией, то использование первого следствия теоремы единственности позволяет сразу записать выражения для напряженности его поля: E= τ/2πεε₀ r и для напряжения

U= (τ/2πεε₀)ln(r₂/r₁).

Емкость на единицу длины кабеля

C₀=τ/U=2πεε₀/ ln(r₂/r₁).

Наибольшее значение напряженность поля имеет у поверхности внутреннего цилиндра (r=r₁):

E_наиб= τ/2πεε₀ r₁=U/(r₁ ln(r₂/r₁).

При изменении радиуса внутренней жилы знаменатель последнего выражения пройдет через максимум при условии d/dr₁(r₁ ln(r₂/r₁))=0, а напряженность E_наиб станет минимальной при r₂/r₁=e≈2,7. Это условие максимальной электрической прочности кабеля.

На графике представлена зависимость f(x)= E_наиб от x=r₁/r₂. При x<0,37 корона носит устойчивый характер.

Поле двух равномерно заряженных осей

В однородном диэлектрике находятся две параллельные бесконечно длинные оси оси, равномерно и разноименно заряженные, с линейной плотностью заряда ±τ. Расстояние между осями равно 2а (±а– характеризует положение электрических осей). Требуется определить потенциал поля и выяснить форму эквипотенциальных поверхностей и линий напряженности.

Потенциал в точке, отстоящей на расстоянии r₁ от положительной оси и r₂ от отрицательной оси, можно получить как сумму потенциалов отдельных осей (принцип наложения).

φ=φ₊ + φ_-= -(τ/2πεε₀)ln r₁+(τ/2πεε₀)ln r₂+А,

или φ=(τ/2πεε₀)ln r₂/r₁+A.

Первое слагаемое обращается в нуль при r₁= r₂, в точках плоскости перпендикулярной отрезку 2а и проходящей через его середину. Если потенциал этой плоскости принять равным нулю, то постоянная А обратится в нуль.

φ=(τ/2πεε₀)ln r₂/r₁.

Уравнение эквипотенциальных линий:

r₂/r₁=k,

где k – параметр семейства этих линий.

Линии равного потенциала – окружности с центрами на оси ОХ. Действительно:

или (1-k²)x²-2(1+k²)ax+(1-k²)y²=-a²(1-k²).

Разделив последнее уравнение на (1-k²) и добавив с каждой стороны по члену a²(1+k²)²/(1-k²)², можно получить:

,

что является уравнением окружности с координатами (геометрической оси) центра

h= a(1+k²)/(1-k²) (на оси ОХ) и y₀=0 (на оси ОY) и радиусом R=2ka/[1-k²].

Непосредственной подстановкой можно доказать соотношение:

h²-a²=R²,

а решение R=2ka/[1-k²] относительно k представляет потенциал эквипотенциальной линии в виде

φ=(τ/2πεε₀)ln (h±a)/R,

«+» для точек слева от оси ОУ, «–» для точек справа.

Линии равного потенциала – окружности, геометрические оси которых смещены относительно электрических осей. Линии напряженности – дуги окружностей, начинающиеся на электрической оси с положительным зарядом и кончающиеся на оси с отрицательным зарядом.