Плоская волна в однородном диэлектрике

Электромагнитная волна называется плоской, когда все величины, характеризующие электромагнитный процесс, зависят только от одной из декартовых координат (z) – направления вектора Пойнтинга или направления распространения волны. Для электромагнитной волны, свободно распространяющейся в однородном и изотропном диэлектрике при условии, что вектор Е направлен по оси ОХ, а Н – OY, первые два уравнения Максвелла принимают вид

–∂H_y/∂z= εε₀∂E_x∕∂t; ∂E_x/∂z=– μμ₀∂H_y∕∂t.

Откуда

∂E_x²∕∂t²=v²∂E_x²∕∂z²,

причем v=(εε₀ μμ₀)^-1/2.

Решение этого уравнения имеет вид

E_x= F₁(z-vt) + F₂(z+vt) = Е_пр + Е_об,

где v=(εε₀ μμ₀)^-1/2=с(ε μ)^-1/2 – скорость распространения волны в среде, с=(ε₀ μ₀)^-1/2 – скорость распространения электромагнитной волны в вакууме.

Уравнение ∂E_x/∂z=– μμ₀∂H_y∕∂t позволяет получить

Н_у=(εε₀ ∕μμ₀)^1∕2( F₁(z-vt) – F₂(z+vt)) = Н_пр – Н_об.

Частные решения

E_пр= F₁(z-vt); Н_пр=(εε₀ ∕μμ₀)^1∕2 F₁(z-vt),

определяют электромагнитную волну, распространяющуюся со скоростью v в положительном направлении оси Oz (прямую волну), а

E_об= F₂(z+vt); Н_об= –(εε₀ ∕μμ₀)^1∕2F₂(z+vt)

– волну, распространяющуюся со скоростью v в отрицательном направлении оси Oz (обратную волну).

Итак, электромагнитная волна распространяется в пространстве со скоростью v=(εε₀ μμ₀)^-1/2, которая зависит от электрических и магнитных свойств среды. В вакууме она равна с=(ε₀ μ₀)^-1/2=3·10⁸м∕с.

Абсолютные значения напряженностей магнитного и электрического полей связаны как в прямой, так и в обратной волне соотношением

Н=(εε₀ ∕μμ₀)^1∕2Е

откуда μμ₀ Н²∕2=εε₀ Е²∕2.

И если существует только прямая и обратная волна, то энергия магнитного и электрического полей равны между собой.

Отношение Е_пр∕Н_пр= Е_об∕Н_об=(μμ₀∕εε₀)^1∕2=Z_в имеет размерность электрического сопротивления и может рассматриваться как волновое сопротивление среды. Для вакуума Z₀=(μ₀∕ε₀)^1∕2=120π=377Ом.

Если существует только одна прямая волна, вид которой определяется из граничного условия при z=0 Е_x(0,t)=E_msin(ωt), тогда при z>0

E_x=E_msinω(t-z/v)=E_msin(ωt-kz);

H_y=H_msin(ωt-kz),

где k=ω/v – волновое число, λ=vT=v/f – длина волны (расстояние на которое электромагнитная волна распространяется в течение одного периода колебаний).

Плоская электромагнитная волна в проводящей среде

В случае электромагнитной волны в проводящей среде можно пренебречь токами смещения по сравнению с токами проводимости, а уравнения Максвелла принимают вид

rot H=J=γЕ; rot Е = – μμ₀∂Н∕∂t.

Пусть плоская электромагнитная волна, распространяющаяся в диэлектрике вдоль оси 0z, подходит нормально к плоской поверхности, ограничивающей проводящую среду, пусть вектор Е направлен по оси ОХ, а Н – OY и вектора Е и Н не зависят от х и у. Тогда

–∂H_y/∂z= γE_x; ∂E_x/∂z=– μμ₀∂H_y∕∂t.

В случае синусоидального изменения во времени напряженности электрического и магнитного полей эти уравнения принимают вид.

–dH_m/dz= γE_m; dE_m/dz= –jω μμ₀H_m,

где E_x=Е_mexp(jωt); H_y=H_mexp(jωt).

Дифференцируя первое уравнение по z и используя второе, можно получить

d²H_m/dz²= jωμμ₀γН_m.

Решение этого линейного уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Н_m=A₁exp(-αz)+ A₂exp(αz),

где α=(jωμμ₀γ)^1∕2=(ωμμ₀γ∕2)^1∕2+j(ωμμ₀γ∕2)^1∕2, k=(ωμμ₀γ∕2)^1∕2.

Второй член в выражении для Н_m при A₂≠0 увеличивается до бесконечности при возрастании z, так как вещественная часть α положительна. Напряженность поля не может расти до бесконечности и поэтому A₂=0, а

Н_m=A₁exp(-αz).

Постоянная A₁ имеет значение Н_m0 на поверхности проводящей среды (при z=0).

Н_m= Н_m0 exp(-kz) exp(-jkz)

или

Н_у= Н_m0 exp(-kz) sin(ωt+ψ_h– kz).

Для напряженности электрического поля из –dH_m/dz= γE_m

E_m=1/γ(1+j)k Н_m0 exp(-kz) exp(-jkz)

или

E_x=(ωμμ₀/γ) Н_m0 exp(-kz) sin(ωt+ψ_h– kz+π/4).

Волновое сопротивление для проводящей среды оказывается комплексным

Z=(1+j)(ωμμ₀/2γ)^1/2.

Длина волны λ, т.е. расстояние, на котором фаза изменяется на 2π, определяется из условия (ωμμ₀γ∕2)^1∕2λ=2π.

λ=2π(ωμμ₀γ∕2)^-1∕2.

Отношение амплитуд напряженностей полей на расстоянии z=λ от поверхности среды к их значениям на поверхности равно ехр(-k λ)=exp(-2π)= 0,00187, т.е. на этом расстоянии волна практически полностью затухает.

Длина волны λ для различных веществ

Частота f Медь Ферромагнетик Морская вода Сухая почва

γ(См∕м) 5,8·10⁷ 10⁷ 1 10^-2

μ 1 1000 1 1

50Гц 5,9см 0,45см 450м 4500м

500кГц 0,059см 0,45·10^-2см 4,5м 45м