38. Свойства эквиваленции, импликации и отрицания (теорема 4.4).

А)x~x=1 x~x’=0

Б) коммутативность эквивалентности x~y=y~x

В) ассоциативность эквивалентности (x~y) ~z=x~(y~z)

Г)1~x=x, 0~x=x’

Д)x’~y’=x~y

Е)x’→y’=x→y

Ж)x→x=1

З)x→x’=x’

И)x’→x=x

К)1→x=x

Л)0→x=1

М)x→1=1

Н)x→0=x’

39. Выражение одних булевых функций через другие (теорема 4.5).

А) Ж)

Б) З)

В) И)

Г) К)

Д) Л)

Е) М)

40. Булевы функции от n аргументов (определение, равенство булевых функций, суперпозиция булевых функций).

Булевой функцией от n аргументов называется функция f из n-ой степени множества { 0, 1 }ⁿ имеющая значения в двухэлементном множестве { 0, 1 }.

Суперпозицией булевых функций f₀ и f₁,...,f_n называется функция f(x₁,...,x_m) = f₀(g₁(x₁,...,x_m),...,g_k(x₁,...,x_m)), где каждая из функций g_i(x₁, ...,x_m) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f₁,...,f_n.

Две булевы функции от n аргументов f(x₁,...,x_m) и g(x₁,...,x_m). называются равными, если любым одинаковым набором значений аргументов x₁,...,x_m обе эти функции сопоставляют одинаковые элементы из множества {0, 1}.

41. Число булевых функций от n аргументов. Выражение булевых функций через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание (теорема о разложении функции по переменной и теорема о представлении булевых функций через конъюнкцию, дизъюнкцию и отрицание).

42. Булевы функции и формулы алгебры высказываний.

См.

43. Нормальные формы булевых функций.

См.

44. Системы булевых функций. Полные системы булевых функций. Теорема о полных системах булевых функций.

См.

45. Системы булевых функций (P₀– классы всех булевых функций сохраняющих ноль, P₁ – классы всех булевых функций сохраняющих единицу, двойственные булевы функции, S – классы всех самодвойственных булевых функции, M – классы всех монотонных булевых функций, L – классы всех линейных булевых функций).

Класс функций сохраняющих ноль . Определение:

Говорят, что функция сохраняет ноль, если .

Класс функций сохраняющих единицу . Определение:

Говорят, что функция сохраняет один, если .

Класс самодвойственных функций . Определение:

Говорят, что функция самодвойственна, если . Иными словами, функция называется самодвойственной, если на противоположных наборах она принимает противоположные значения.

Класс монотонных функций . Определение:

Говорят, что функция монотонна, если .

Класс линейных функций . Определение:

Говорят, что функция линейна, если существуют такие , где , что для любых имеет место равенство:

Количество линейных функций от переменных равно .

Функция является линейной тогда, и только тогда, когда в ее полиноме Жегалкина присутствуют слагаемые, каждое из которых зависит не более чем от одной переменной.

46. Теорема Поста о полноте системы булевых функций.

47. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам. Понятие релейно-контактная схема. Функция проводимости.

48. Применение булевых функций к релейно-контактным схемам. Функция проводимости. Простейшие релейно-контактные схемы (последовательное и параллельное соединение) и их функции проводимости. Реализация в виде релейно-контактной схемы импликации и эквиваленции.

49. Применение булевых функций к релейно-контактной схеме. Две основные задачи теории релейно-контактных схем.

50. Релейно-контактные схемы в ЭВМ. Двоичный полусумматор. Одноразрядный двоичный сумматор.

51. Графы. Основные понятия и определения (вершины, ребра, петли, кратность ребра, псевдограф, мультиграф, граф, орграф, неориентированный граф). Привести примеры.

Граф - вообще говоря, пара G=(V, E), где V -непустое множество, а E - множество пар V(v, w),из V, которые задают ребра. Обычно V называют множеством вершин, а E - множеством ребер. Обычно граф изображают на плоскости в виде точек (вершин) и соединяющих их линий (ребер).

Вершина графа - элемент множества вершин графа V.

Ребро графа - элемент множества ребер графа E.

Петля - ребро инцедентное одной вершине (единственной). Может быть несколько петель.

Количество одинаковых пар (v, w) во множестве Е называется кратность его ребра.

Псевдограф – граф с кратными ребрами и петлями.

Мультиграф – граф с кратными ребрами.

Если в наборе Е ни одна пара не встречается более 1 раза, то мультиграф G называется графом.

Если пары в наборе Е являются упорядоченными, то граф называется ориентированным или орграфом.

Если пары неупорядочены, то граф неориентированный или просто граф.

52. Графы. Смежность, инцидентность, степени (концы ребра, начало и конец дуги, инцидентность, смежность вершин, смежность ребер, степень вершины, изолированные вершины, висячие вершины, полустепень исхода (захода)). Привести примеры.

Смежность ребер. Два ребра r1 и r2 смежны тогда и только тогда, когда существует по крайней мере одна вершина, инцидентная r1 и r2.

Концы ребра: x={v, w} – ребро графа ,то v, w – концы ребра Х.

Если Х=(v, w) – дуга орграфа, то v – начало, w – конец дуги Х.

Если v является концом (началом или концом) ребра (дуги) Х, то говорят, что v и x ицидентны.

Вершина v, w графа G=(v, х) называются смежными, если ребро принадлежит x.

Степенью вершины v графа G называется число ребер G инцидентных вершины v.

Вершина графа имеющая степень 0 – изолированная, а степень 1 – висячая.

Полустепенью исхода(захода) вершины v орграфа D называется число дуг орграфа D исходящих из вершины v(заходящих в вершины v).