======= ТЕМА 1 ========

1. Матрицы, виды матриц, операции над ними и их свойства:

Матрица mxn – прямокугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов.

Виды:

Квадратная, где m=n(m – порядок матрицы).

Диагональные:

a) Просто диагональная - все элементы, кроме диагональных, = 0

b) Еденичная - диагональная, но все диагональные элементы = 1

c) Нулевая - все элементы = 0

d) Верхняя треугольная - все элементы над диагональю = 0

e) Нижняя треугольная - все элементы под диагональю = 0

f) Блочная.

Операции над матрицами:

1) A=B равенство (присваивание), одинаковые элементы

2) Сложение: C=A+B. c_ij=a_ij+b_ij. (i=1..m, j=1..n);

3) Умножение на число z0: B=z*A, b_ij=a_ij*z;

4) Умножение: C=A*B. [A_mxp*B_pxn = C_mxn]. c_ij=a_ip*b_pj, где p=MIN[m(A), n(B)];

5) Транспонирование: A_mxn=B_nxm =A^T (Bji=Aij);

Свойства: (A+B)^T= A^T+B^T; (AB)^T=B^T*A^T; (A^T)^T=A;

Свойства:

1) Ассоциативность [A(BC)=(AB)C];

2) Дистрибутивность [A(B+C)=AB+AC];

3) z(AB)=(zA)B;

4) ABBA;

2 ------------------------------------------

Блочные матрицы:

Если матрицу при помощи горизонтальных и вертикальных линий разбить на несколько частей, то эти части будут блоками, а матрица, составленная из этих блоков будет называться блочной матрицей(||A||). Элементы блочной матрицы, тоже матрицы, записываются при помощи больших букв с индексами, которые им даются по тем же правилам, что и индексы простых элементов.

Теорема о произведении блочных матриц:

C_ik=A_i1B_1k+…, где A_i1 и B_1k блоки матриц A и B. Доказываеться перемножением.

Теорема:

Прямая сумма блочных квадратных матриц A и B: C=AB и C=||матрица 2x2: A,0;0,B||;

(A_mA_n)+(B_mB_n)=(A_m+B_m)(A_n+B_n);

(A_mA_n)(B_mB_n)=A_mB_mA_nB_n;

3 ------------------------------------------

Индуктивное определение det A. Миноры и алгебраические дополнения.

1) Det A – это число,которое ставится в соответствие матрице А и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

1. Определителем матрицы А= (а11) порядка n=1 называется единственный элемент этой матрицы det( a11)=a11

2. Определителем матрицы А порядка n>1 называется число detA=(-1)¹⁺¹ * * +(-1) ¹⁺²* * +…+(-1) ¹⁺ⁿ* *

где Мij – дополнитльный минор элемента аij-определитель матрицы порядка n-1, полученной из матрицы А вычеркиванием i-й строки и j-ого столбца.

Алгебраическим дополнением Аij элемента aij матрицы А называется дополнительный минор Мij этого элемента, умноженный на (-1) ^i+j

Индуктивное определение позволяет вычислять определить любого порядка.

Матрица вырожденная,если ее определитель равен нулю, иначе- невырожденная.

Теорема о разложении определителя по элементам строки, столбца:

Определитель матрицы А равен сумме произведений элементов произвольной строки(столбца) на их алгебраическое дополнение.

detA= – разложение по i-ой строке

detA= – разложение по j-му столбцу

4 ------------------------------------------

Свойства определителей:

1) det A^T = det A. Это означает равномерность строк и столбцов.

2) Если в определителе поменять местами 2 строки(столбца), то он поменяет знак.

3) Если в определителе имеются 2 одинаковые(пропорциональные) строки (столбца), то он равен 0.

4) Если элементы какой-либо строки (столбца) умножить на z, то определитель

умножится на z.

5) Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то он сам равен нулю.

6) Если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить соответственно элементы

другой строки (столбца), умноженные на z0, то определитель не изменится.

7) Сумма произведений элементов любой строки(столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения этой строки(столбца) равна этому определителю.

8) Сумма произведений какой-либо строки(столбца) определителя на соответствующие алгебраические дополнения элементов любой другой строки(столбца) равна нулю.

5 ------------------------------------------

Элементарные преобразования матриц:

1) Перестановка двух столбцов(строк) определителя приводит к изменению его знака на противоположный.

2) Умножение всех элементов одного столбца(строки) определителя на одно и то же число, отличное от нуля, приводит к умножению определителя на это число.

3) Прибавление к элементам одного столбца(строки) определителя соответствующих элементов другого столбца, умноженных на одно и то же число, не изменяет определитель.

Лемма: При помощи элементарных преобразований только над строками(столбцами)

можно привести любую квадратную матрицу к теугольному виду.

Методы вычисления определителей:

Метод приведения к треугольному виду.

1. При помощи элементарных преобразований привести определитель к треугольному виду.

2. Вычислить определитель треугольного вида, перемножая его элементы, стоящие на главной диагонали.

Метод понижения порядка.

1. При помощи элементарных преобразований 3го типа нужно в одном столбце сделать равными нулю все элементы, за исключением одного.

2. Разложить определитель по этому столбцу(строке) и получить опеределитель меньшего порядк, чем исходный. Если его порядок > 1, то пункт 1, иначе закончить вычисления.

Метод изменения всех элементов определителя.

При вычислении определителя бывает полезно изменить все его элементы, умножив их на одно и то же число, не равное нулю, либо прибавить к каждому элементу одно и то же число.

Так же можно воспользоваться правило Сарриуса для матрицы порядка 3x3.

6 ------------------------------------------

Теорема о определителе произведения матриц:

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей Доказательство: приведем матрицы к верхне треугольному виду, их детерминант стал равен произведению диаганальных элементов,теперь перемножим их, получили верхне диаганальную матрицу в которй элементы по диаганали равны произведению элементов стоящих на тех-же местах, т.е.(a₁₁*a₂₂*…*a_nn)*(b₁₁*b₂₂*…*b_nn)=(a₁₁*b₁₁)*(a₂₂*b₂₂)*… (a_nn*b_nn)

Следствие об определителе блочно-диагональной матрицы:

Определитель блочно-диаганальной матрицы равен произведению определителей блоков. (По диаганали стоят не нулевые матрицы)

7 ------------------------------------------

Обратная матрица:

Матрица , удовлетворяющая вместе с заданной матрицей А равенствам: А^-1*А=А*А^-1

=Е называется обратной.

Матрицу называют обратимой, если для нее существует обратная, иначе- необратимой.

A^-1=1/detA *A⁺ , где А⁺ - матрица, транспонированная для матрицы, состоящей из алгебраических дополнений элементов матрицы А.

Матрица А⁺ называется присоединенной матрицей по отношению к матрице А.

Матрица 1/detA *A⁺ существует при условии,что detA не = 0.

Теорема о существовании и единственности обратной матрицы:

Теорема: Квадратная матрица nxn, с определителем, не равным нулю, имеет обратную матрицу, и притом только одну.

Доказательство. Надо показать,что А^-1 обратная матрице А, т.е. удовлетворяет двум условиям:

1) A* (1/detA * A⁺)=E

2) (1/detA * A⁺) *A=E

Докажем первое равенство. Согласно свойству определителя следует, что А*А⁺=detA*E

Поэтому

A* (1/detA * A⁺)=1/detA* А*А⁺=1/detA* detA*E

=Е ч.т.д.

Аналогично доказывается второе равенство=> матрица А имеет обратную А^-1=1/detA *A⁺

Единственность: Пусть кроме А^-1 существует еще одна обратная матрица В(В не= А^-1) такая, что АВ=Е. Умножим обе части этого равенства слева на матрицу А^-1, то получим А^-1АВ=А^-1Е. Отсюда В=А^-1, что противочерит условию=> обратная матрица единствена.

Свойства обратной матрицы: 1) (A^-1)^-1=A; 2) (AB)^-1=A^-1B^-1; 3) (A^T)^-1=(A^-1)^T; 4) E=E^-1;

8 ------------------------------------------

Матричные уравнения AX=B, YA=B:

Если определитель матрицы отличен от нуля, то матричное уравнение вида АХ=В имеет единственное решение Х=А^-1В

AX=B  (A^-1*A)X=A^-1*B  т.к. (A^-1*A)=E, то X=A^-1*B.

Если определитель матрицы отличен от нуля, то матричное уравнение вида YA=В имеет единственное решение Y=BА^-1

YA=B

Y=BA^-1

AXB=C

X=A^-1CB^-1

Алгоритмы нахождения обратной матрицы:

I: 1) Вычислить det A. Если он равен нулю, то A^-1 не существует;

2) Составляем матрицу (Aij) состоящую из алгебраических дополнений Aij=(-1)ⁱ⁺j*Mij элементов матрицы A;

3) Транспонируем матрицу (Аij) и получаем присоединенную матрицу А⁺=(Аij)^T;

4) A^-1=A⁺/detA

А^-1= 1/detA * A⁺

II: 1) Запишем расширенную (A|E).

2) Элементарными преобразованиями над строками приведем эту расширенную матрицу к виду (E|B) (т.е. (A|E)(E|B)). Тогда B и будет обратной матрице A.

9 ------------------------------------------

Линейная зависимость и линейная независимость столбцов матрицы:

Столбец А называется ЛК столбцов A1Ak одинаковых размеров, если A=₁A₁++_kA_k , где 1k – коэфициенты линейной комбинации(некоторые числа). В этом случае говорят, что столбец А разложен по столбцам А1…Аk, а числа 1k называются коэффициентами разложения. Если коэффициенты разложения равны 0, то ЛК тривиальная.

Набор столбцов А1…Аk одинаковых размеров называется системой столбцов.

Система столбцов A₁…A_k называется линейно-зависимой, если существуют числа ₁_k, не все равные нулю одновременно, такие, что если A=₁A₁++_kA_k=0, 0-нулевой столбец.

Система столбцов A₁…A_k называется линейно-независимой, если равенство возможно только при ₁₌=_k=0, т.е. когда ЛК в левой части тривиальная.

Один столбец А1 тоже образует систему при А1=0 – ЛЗ, А1 не=0 – ЛНЗ

Любая часть системы столбцов называется подсистемой.