Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
L_Interpolirovanie.doc
Скачиваний:
0
Добавлен:
10.11.2019
Размер:
573.95 Кб
Скачать

Лекция 2. Интерполирование функций

  1. Постановка задачи

Пусть на отрезке [a,b] оси Х заданы (n+1) точка , которые называются узлами интерполяции и заданы значения некоторой функции y=f(x) в этих точках .

a

b

Требуется построить функцию F(x) (интерполирующую функцию), принадлежащую к определенному классу и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x)

Геометрическая интерпретация (см. рис.)

В такой общей постановке задача может не иметь решения (например, 3 точки и прямая линия). Задача имеет единственное решение в классе полиномов степени n и много решений в классе полиномов степени выше n:

- практическое значение задачи интерполяции

- отличие экстраполирования от интерполирования.

Сужаем задачу:

а) в качестве интерполирующей функции примем полином степени n, проходящий через точки ;

б)

  1. Конечные разности различных порядков

Пусть y=f(x),

- первая конечная разность функции f(x)

Например,

Пример 1

Пример 2

Для получим таблицу

x

y

x

(e-1)

x+1

(e-1)

x+2

(e-1)

x+3

  1. Символ будем рассматривать как оператор, ставящий в соответствие функции f(X) разность

Свойства оператора

а)

б)

в)

г) - по определению

, где Е – символ

4. (4) (последовательные значения)

Последовательные значения f(x) формулой (4) выражаются конечными разностями последовательных порядков функции f в точке x.

5.

(5)

Последовательные разности функции f(x) в точке x формулой (5) выражаются через ее последовательные значения

6. Обобщенной n-степенью числа X с шагом h называют произведение

Если h=0, то обобщенная n – степень равна обычной

Найдем последовательные разности обобщенной степени

конечная разность 1-го порядка

, если m > n

7. Первая интерполяционная формула Ньютона

Дано

Требуется найти полином степени n, для которого

При этом

Ищем полином в виде

=

Отсюда

Пусть ,

тогда 1-ая интерполяционная формула Ньютона

8. Пример

x

y

3,50

33,115

1,698

0,087

0,005

3,55

34,813

1,785

0,092

0,003

3,60

36,598

1,877

0,095

-

3.65

38,475

1,972

-

-

3,70

40,447

-

-

-

Пусть q=0,4, что соответствует x=3,52

x

q

3,52

0,40

33,784

33,79420

33,78376

33,78408

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]