13. Рассказать о нахождении собственных значений и собственных векторов симметричных матриц. Примеры.

См. Билет №33

13. Доказать определение квадратичной формы. Рассказать о приведении ее к каноническому виду и об использовании квадратичных форм для исследования общего уравнения кривой 2-го порядка. Примеры.

Квадратичной формой называется однородный многочлен второго порядка относительно двух независимых переменных.

Каждой квадратичной форме можно поставить в соответствие симметричную матрицу S. При изменении базиса матрица S, а значит и квадратичная форма К меняются, и она принимает канонический вид в базисе состоящих из собственных векторов.

Для того, чтобы привести квадратичную форму к каноническому (простейшему) виду нужно записать ее в базисе, состоящем из собственных векторов симметрично матрице S, соотв. Квадратичным формам.

13. Дать определения и сформулировать свойства цилиндрических и конических поверхностей. Вывести уравнение поверхности вращения. Рассказать о методе сечений. Примеры.

Пусть задана некоторая плоская кривая m, называемая направляющей. Поверхность, образованная прямыми, проходящими через направляющие и параллельными между собой, называется цилиндрической, а эти прямые называются образующими. Называется цилиндр по названию образующей.

Пусть направляющая лежит в какой-либо координатной плоскости, например имеет вид F(x,y)=0, а образующие параллельны какой-либо оси (//OZ), в этом случае уравнение направляющей имеет вид - направляющая.

А уравнение цилиндрической поверхности имеет вид F(x,y)=0 – цилиндрическая поверхность.

Т.е. если уравнение поверхности не содержит одной из координат, то она является цилиндрической.

Поверхности вращения.

Пусть задана некоторая плоская кривая F(y,z)=0. Будем ее вращать вокруг оси OZ. Полученная поверхность называется поверхностью вращения.

Выведем ее уравнение, для этого проведем секущую плоскость перпендикулярную оси OZ на оси z. Будем обозначать координаты точки поверхности M заглавными буквами.

Очевидно, что Z=z т.к. это поверхность вращения, то |AM|=|AN|, AM=y.

Таким образом уравнение поверхности вращения имеет вид

Для того, чтобы получить уравнение поверхности вращения нужно координату соответствующей оси вращения оставить без изменения, а другую координату заменить на корень из суммы квадратов других координат.

Если уравнение поверхности содержит сумму квадратов координат с одинаковыми коэффициентами, то это поверхность вращения.

13. Дать определение функции. Основные элементарные функции (степенные, показательные и логарифмические) и их графики.

Пусть заданы два множества X и Y. Функцией называется правило, которое каждому элементу x из множества X ставит в соответствие единственный элемент y из Y.

Графиком функции называется множество упорядоченных пар точек (x,f(x)).

Степенные функции . Рассмотреть графики функций y=x, y=x², y=x³, . Четная функция f(-x)=f(x), нечетная функция f(-x)=-f(x).

Графики четных функций симметричны относительно оси OY, а графики нечетных функций относительно начала координат.

Т.к. четность и нечетность являются видами симметрии, то большинство функций не являются таковыми.

Показательная функция. y=a^x (a>0,a≠1)/

f^-1(x) называется обратной f(x), если f^-1[f(x)]=f[f^-1(x)]=x. Для x≥0 y=x², .

Графики взаимно-обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Области определения и значений меняются местами, а направление монотонности сохраняется.