13. Дать определение векторного произведения векторов. Рассказать об его физическом смысле и основных свойствах. Вывести выражение векторного произведения через координаты векторов. Примеры.

Ориентация тройки векторов.

Пусть векторы а, b и c не компланарны, отнесем их к общему началу точки О и построим на векторах а и b плоскость PI.

Если смотреть с конца вектора с, то кратчайший поворот альфа от вектора а к вектору b происходит против часовой стрелки. В этом случае говорят, что вектора а,b,c образуют правую тройку.

Система координат x,y,z называется правой, если базисные векторы i, j, k образуют правую тройку ( и левой, если i,j,k образуют левую тройку)

Векторное произведение 2-х векторов а и b –третий вектор с, который имеет следующие свойства: 1) вектор с ортогонален а и b( перпендикулярен); 2)с направлен таким образом, что тройка векторов а,b,с – правая; 3)Длина вектора с численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах а и b.

Свойства векторного произведения:

1. Антикоммунитативность

[a,b]=-[b,a] и т.д.

Приложения векторного произведения.

1. Векторное произведение используется для нахождения площадей.

2. В механике с помощью векторного произведения находится момент силы М

Пусть на тело в точке А действует сила F, тогда моментом силы F относительно заданной точки О называется вектор М, равный векторному произведению вектора плеча ОА и силы F.

13. Вывести условие коллинеарности векторов. Рассказать о вычислении площади треугольника по координатам его вершин и о делении отрезка в заданном отношении. Примеры.

Если векторы а и b коллинеарны, то всегда можно найти такое число альфа (скаляр), что один вектор выражается через другой. а=(альфа)*b

Пусть даны два ненулевых вектора а и b, заданных своими координатами. В этом случае (a_x/b_x)=(a_y/b_y)=(a_z/b_z), которые являются условием коллинеарности векторов.

Примечание. Некоторые из знаменателей могут быть равными нулю, любую пропорцию мы понимаем в смысле равенства.

13. Дать определение смешанного произведения трех векторов. Сформулировать его основные свойства и рассказать о геометрическом смысле. Примеры.

Смешанное произведение векторов- это последовательное выполнение двух операций:

1. находим векторное произведение 2-х векторов; 2) скалярное произведение полученного вектора на третий сомножитель.

Теорема о геометрическом смысле.

Смешанное произведение векторов а, b и с численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с, как на ребрах, причем с плюсом если правая тройка, если левая тройка то с минусом.

Следствие.

Если на этих же векторах построить пирамиду как на ребрах, то ее объем будет равен одной шестой объема параллелепипеда.

Свойства смешанного произведения:

1. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.

2. Смешанное произведение 3-х векторов не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения.

3. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене местами любых двух сомножителей.

4. Смешанное произведение векторов, из которых хотя бы один равен 0, равно 0.

5. Смешанное произведение трех векторов, из которых хотя бы два коллинеарны, равно 0.

6. Если смешанное произведение 3-х векторов равно 0, то векторы компланарны

13. Дать определение смешанного произведения 3-х векторов. Вывести формулу его вычисления через координаты векторов. Вывести условие компланарности 3-х векторов и найти объем тетраэдра через координаты его вершин. Примеры.

Смешанное произведение – последовательное выполнение двух операций:

1. находим векторное произведение 2- х векторов, затем 2) скалярное произведение полученного вектора умножаем на третий сомножитель.

Теорема о геометрическом смысле.

Смешанное произведение векторов а, b и с численно равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, b и с, как на ребрах, причем с плюсом если правая тройка, если левая тройка то с минусом.

Следствие.

Если на этих же векторах построить пирамиду как на ребрах, то ее объем будет равен одной шестой объема параллелепипеда.

Свойства смешанного произведения:

7. Смешанное произведение не меняется при циклической перестановке его сомножителей.

8. Смешанное произведение 3-х векторов не меняется при перемене местами знаков векторного и скалярного умножения.

9. Смешанное произведение меняет свой знак при перемене местами любых двух сомножителей.

10. Смешанное произведение векторов, из которых хотя бы один равен 0, равно 0.

11. Смешанное произведение трех векторов, из которых хотя бы два коллинеарны, равно 0.