А ) сфера

Имеем сферу радиуса R, равномерно заряженную зарядом q с поверхностной плотностью  = q/S = q/4R². В качестве замкну­той поверхности, через которую вычисляется поток вектора для теоремы Остро­градского-Гаусса, логично выбрать сфериче­скую поверхность, концен­трическую, т. е. имеющую общий центр с заряженной сферой, являющейся источником ЭСП. В силу сфериче­ской симметрии, все точки выбранной поверхности являются элек­трически эк­вивалентными, т. е. значения вектора в них одинаковы, а его на­правление совпадает с нор­малью (в случае поло­жительного заряда q - с внешней нормалью) к сферической поверхности. Поэтому для потока вектора имеем:

Ф_Е = = = = = ЕS = Е4r²

Для наружной области, т. е. для r  R, найденный поток вектора равен, в соответствии с теоремой Остро­градского-Гаусса, заряду, находящемуся внутри поверхно­сти, через кото­рую вычис­ляется поток, (т. е. заряду q в нашем случае), деленному на _о, то есть Е4r² = q/_о.

Из этого равенства и выражаем значение напряженности ЭСП, создаваемого равномерно заря­женной сферой во внешней области и на ее поверхности:

Е = q/(4_оr²) = kq/r²,

или Е = kS_сф/r² = k4R²/r² = R²/_оr².

Для потенциала  получается следующее выражение:

Из ₁ - ₂ = = = (kq/) = - (kq/)(1/r₂ - 1/r₁) = kq/r₁ - kq/r₂ 

 = kq/r + const

Константа обычно принимается равной нулю, так чтобы при r  ,  = 0.

Нетрудно видеть, что полученные выражения совпадают с аналогичными для точечного за­ряда. Это является проявлением одинакового характера ЭСП - сферического, создаваемого и точечным зарядом, и равномерно заряженной сферой.

В

о внутренней области сферы, создающей ЭСП, т. е. при r  R, заряда нет, поэтому, поток вектора через любую замкнутую поверхность в этой области равен нулю. Это может быть только при равенстве нулю самого вектора ; таким образом, внутри равномерно заряженной сферы напряженность ЭСП равна нулю. Потенциал же  внутри заряженной сферы сохраняет постоянное значение, равное его значению на поверхности сферы. Характер зависимости напряженности и потенциала  равномерно заряженной сферы от радиальной координаты r представлен на рис.

Напряженность , будучи антиградиен­том потенциала , ведет себя как отрицатель­ная про­из­водная потенциала по пространст­венной коор­ди­нате. Внутри заряженной сферы потенциал по­стоя­нен, напряженность равна нулю. Во внешней области, потенциал гиперболически убывает, его про­изводная (со знаком минус), также убывает, но более бы­стро, по закону обратных квадра­тов.

3aкон обратных квадратов, справедливый и для точечных заряженных тел, связан со сфериче­ской симметрией ЭСП. Т. к. поверхность сферы, точнее, ее площадь S = 4R², возрастает квадра­тично с возрастанием радиуса, то с удалением от центра сферы плотность силовых линий, т. е. их число через единицу площади (а это и есть сила ЭСП, его напряженность) убывает обратно пропор­ционально квадрату радиуса.

Внутри заряженной сферы, опять же, в силу радиальной симметрии, через каждый элемент поверхности проходит равное число силовых линий прямого и обратного направлений, так, что результирующая напряженность оказывается равной нулю. Все эти качественные выводы и были получены формально, чисто математически, путем применения теоремы Остроградского - Гаусса к анализу ЭСП равномерно заряженной сферы.