- •Электричество и магнетизм - учение об электромагнитном взаимодействии и поле
- •Электростатика, ее предмет и основные понятия. Электрический заряд и его свойства.
- •Закон Кулона. Характер сил электростатического взаимодействия точечных зарядов и основные характеристики и уравнения электростатического поля.
- •Форма закона Кулона
- •Методы расчета основных характеристик электростатического поля.
- •Использование закона Кулона и принципа суперпозиции для расчета напряженности эсп электрического диполя.
- •А) Напряженность эсп диполя в точках вдоль его ocи.
- •Б) Напряженность эсп диполя в точках на срединном перпендикуляре к его оси.
- •2. Применение теоремы Остроградского-Гаусса к расчету характеристик эсп симметричных, равномерно заряженных тел.
- •А ) сфера
- •Б) бесконечно длинная прямолинейная нить (цилиндр).
- •В) бесконечная равномерно заряженная плоскость.
- •Г) конденсатор (плоский).
- •Внешние проявления эсп. Взаимодействие эсп с вещественными средами.
- •Сила и ее работа при действии на точечный заряд. Энергия заряженного проводника. Энергия взаимодействия зарядов.
- •Момент силы и его работа при действии эсп на электрический диполь.
- •Взаимодействие эсп с диэлектриками. Полярные и неполярные диэлектрики. Поляризация. Поляризованность (вектор поляризации). Диэлектрическая проницаемость.
- •Теорема Остроградского - Гаусса для диэлектрика. Граничные условия.
- •Взаимодействие эсп с проводящими средами.
- •Электроемкость проводника. Конденсаторы.
- •Энергия заряженного конденсатора и проводника. Объемная плотность энергии эсп.
- •Сторонние силы. Электродвижущая сила. Закон Ома для неоднородного участка цепи и для замкнутой цепи. Эдс, напряжение и разность потенциалов.
Закон Кулона. Характер сил электростатического взаимодействия точечных зарядов и основные характеристики и уравнения электростатического поля.
Основной закон электростатики - закон Кулона (1785 г) устанавливает характер сил электростатического взаимодействия на элементарном уровне, т. е. на уровне точечных неподвижных заряженных тел (точечных зарядов). В современной трактовке он утверждает, что сила электрического взаимодействия между двумя точечными (а также сферическими) неподвижными зарядами q1, и q2 в однородной и изотропной диэлектрической среде прямо пропорциональна значениям этих зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними и диэлектрической проницаемости среды и направлена вдоль прямой, соединяющей заряды так, что одноименные заряды отталкиваются, а разноименные притягиваются:
= -
= kq1q2
/
- векторная
Форма закона Кулона
=
=
F = kq1q2/r2
г
Коэффициент пропорциональности k в СИ равен: k = 9109 Нм2/Кл2. Его часто выражают в форме: k = 1/4о, где о = 8,810-12 Кл2/Нм2 - электрическая постоянная, являющаяся фундаментальной физической константой.
Согласно закону Кулона, силы электростатического взаимодействия между точечными зарядами в однородной изотропной среде обладают следующими характерными особенностями:
1) являются центральными (радиальными), т. е. ~ и, таким образом, как следует из механики, являются консервативными, т. е. их работа не зависит от формы траектории, а определяется лишь положениями начальной и конечной точек перемещения и равна нулю по замкнутой траектории. Радиальный характер элементарных сил ЭСП обусловливает справедливость закона Кулона и для неточечных тел, но обладающих сферической симметрией.
2) обратно квадратичны удалению, т. е.F12=F21= F ~ 1/r122;
3) линейно связаны с величинами зарядов, т. е. F ~ q1 и F ~ q2;
4) ослабляются средой пропорционально ее диэлектрической проницаемости .
С позиций полевой концепции взаимодействия - концепции близкодействия, вводящей поле как посредник, передающий действие (движение) между телами, не соприкасающимися непосредственно, каждый из электрических зарядов создает в окружающем пространстве особый вид (состояние) материи - электрическое поле, которое и оказывает силовое воздействие на другие заряды, изменяя состояние их движения.
Так как поле - вид материи, непрерывно распределенный в пространстве, для его характеристики вводят специальные функции координат (функции точки). А так как электростатическое поле является потенциальным (его силы – консервативны), то его можно характеризовать и силовой - напряженностью , и энергетической - потенциалом - величинами (полевыми функциями).
Линейная связь сил электростатического взаимодействия с величинами зарядов позволяет ввести силовую характеристику ЭСП - напряженность - как удельную силу, т. е. силу, действующую со стороны поля на единичный неподвижный положительный заряд в данной точке поля:
= /q единица напряженности [Н/Кл].
Т. к. F ~ q, то отношение /q = - не зависит от значения заряда q и характеризует поле само по себе (силу поля) в данной его точке.
Выражение для напряженности поля неподвижного точечного заряда q, получим из закона Кулона, из силы взаимодействия его с пробным зарядом q:
= /q = [(kqq/r2) /r]q = (kq/r3) Е = k|q|/r2
Важным положением в электростатике является известный еще из механики принцип суперпозиции (или принцип наложения) сил, выражающий независимость их действия при наличии нескольких сил. B электростатике его обычно называют принципом суперпозиции электростатических полей, и он выражает характеристики результирующего ЭСП при наличии нескольких источников (зарядов). Согласно этому принципу, при наличии нескольких зарядов напряженность создаваемого ими результирующего ЭСП определяется векторной суммой напряженностей полей, которые бы создавал каждый из этих зарядов в отдельности: = .
Чтобы ввести энергетическую характеристику ЭСП – потенциал , необходимо сначала убедиться в потенциальном характере ЭСП. Для этого нужно показать, что силы ЭСП являются консервативными, то есть их работа по перемещению заряда не зависит от формы траектории. Для простоты составим выражение для работы А12 перемещения пробного заряда q в поле неподвижного точечного заряда q:
А12 = = = = kqq = kqq = kqq(1/r1 - 1/r2) = q(1 - 2).
Получили выражение, из которого следует, что работа А12 сил ЭСП точечного заряда q по перемещению пробного заряда q не зависит от формы траектории перемещения, а определяется лишь его начальным и конечным положениями, задаваемых координатами r1 и r2. В качестве энергетической характеристики этого положения (точки поля) и выбирается скалярная величина, называемая потенциалом . Для точечного заряда = kq/r.
Полученный результат о потенциальном характере ЭСП неподвижного точечного заряда можно обобщить на ЭСП, создаваемое произвольной системой неподвижных зарядов.
Энергетическая характеристика ЭСП - потенциал может быть получена из известного в механике выражения, связывающего силу и потенциальную энергию, в соответствии с которым, сила есть антиградиент потенциальной энергии (или проекция силы на некоторое направление равна быстроте убыли потенциальной энергии Wп в данном направлении).
= - grad Wп = - grad Wп/q = - grad
где за потенциал принято отношение потенциальной энергии взаимодействия заряда с полем к величине заряда: = Wп/q - удельная по заряду потенциальная энергия, то есть потенциальная энергия единичного положительного заряда в данной точке поля, измеряемая в вольтах:о
[Дж/Кл = В]. Или из Fх = - Wп/х Ех = - /х [В/м]
Из взаимосвязи силовой и энергетической характеристик ЭСП получает иное выражение и трактовку единица напряженности. Будучи антиградиентом потенциала, выражая своей проекцией быстроту убыли потенциала в соответствующем направлении, напряженность, наряду с исходным выражением = /q, определяющим ее как удельную силу (в расчете на единицу заряда), измеряется и в В/м. Эта единица показывает, на сколько вольт убывает потенциал на единице длины в соответствующем направлении.
Двоякая интерпретация может быть дана и энергетической характеристике ЭCII - потенциалу . С одной стороны, потенциал = Wп/q - представляет собой удельную потенциальную энергию ЭСП в данной точке, т. е. потенциальную энергию, которую приобретает в данной точке поля положительный единичный заряд. С другой стороны, поскольку потенциальная энергия (энергия взаимодействия) определяется неоднозначно, с точностью до константы, а ее изменение (убыль) равно работе консервативных сил (какими и являются силы ЭСП), то и потенциал может быть выражен через работу сил ЭСП по перемещению единичного положительного заряда из данной точки на бесконечность (потенциал точки, достаточно удаленной от источников поля может быть принят равным нулю):
А12 = q(1 - 2) 1 - 2 = А12/q, или, при 2 0 1 = А1/q.
Из выражения 1 - 2 = А12/q следует, что разность потенциалов двух точек поля есть величина, измеряемая работой сил ЭСП по перемещению положительного единичного заряда из одной точки в другую.
Для однородного ЭСП, напряженность в котором во всех точках одинакова, взаимосвязь между силовой и энергетической характеристиками упрощается и становится более наглядной:
Ех = - /х = (1 - 2)/(х2 - х1)
Обратный переход от напряженности к разности потенциалов, выражается интегральным соотношением: из d = - Ехdх = 2 - 1 = или 1 - 2 =
Для однородного поля: 1 - 2 = Ех(х2 – х1).
Для наглядности ЭСП изображают с помощью силовых линий - касательные, к которым совпадают с направлением вектора в каждой точке поля, а их густота пропорциональна численному значению напряженности ЭСП в данном месте, и с помощью эквипотенциальных поверхностей, все точки которых имеют одинаковый потенциал. Характерным для ЭСП является перпендикулярность силовых линий эквипотенциальным поверхностям. Это следует из того, что вдоль эквипотенциальной поверхности = const, то есть d = 0, а значит проекция Е вектора на эквипотенциальную поверхность Е = - d/d = 0. Отсюда вектор перпендикулярен эквипотенциальной поверхности.
Характерным для ЭСП является также то, что его силовые линии - разомкнуты. Они имеют начало - на положительных зарядах и конец - на отрицательных зарядах или в бесконечности. Замкнутость силовой линии означала бы неравенство нулю работы сил ЭСП по замкнутой траектории, совпадающей с силовой линией, что противоречит его потенциальному характеру.
Силовые линии направлены в сторону убыли потенциала, от большего его значения к меньшему. Формально это следует из взаимосвязи напряженности и потенциала, в соответствии, с которой напряженность есть антиградиент потенциала, а градиент, по определению, есть вектор, направленный в сторону наибыстрейшего возрастания функции (в данном случае – потенциала).
В математическом плане ЭСП, являясь векторным потенциальным полем, полностью характеризуется двумя теоремами, которые в интегральной форме записываются для циркуляции и потока вектора поля (в данном случае - вектора ).
Циркуляция есть криволинейный интеграл от векторной функции поля по замкнутому контуру. Принимая во внимание смысл вектора = - сила, действующая на положительный единичный заряд, для циркуляции вектора получаем: = = = - работа сил ЭСП по перемещению положительного единичного заряда по замкнутой траектории (контуру L). В силу потенциального характера ЭСП работа его сил (являющихся консервативными) по замкнутому контуру нулю. Отсюда следует и теорема о циркуляции вектора : циркуляция вектора напряженности электростатического поля равна нулю: = = 0
Э
В
В соответствии с этим соотношением напряженности можно придать смысл поверхностной плотности потока вектора (потока силовых линий), то есть величины, пропорциональной густоте силовых линий, то есть их числу, пронизывающих единичную площадку. Теорема о потоке вектора напряженности ЭСП - теорема Остроградского - Гаусса утверждает, что поток ФЕ вектора через любую замкнутую поверхность S не зависит от размера и формы поверхности, а определяется лишь полным электрическим зарядом q, находящимся внутри замкнутой поверхности, будучи численно равным этому заряду, деленному на электрическую постоянную о:
ФЕ = = q/о.
П
Окружим точечный заряд замкнутой поверхностью, для простоты в виде сферы радиуса R и вычислим поток вектора от точечного заряда через эту сферическую поверхность. Выражение для напряженности Е поля точечного заряда q получим из закона Кулона, из силы взаимодействия его с пробным зарядом q:
= /q = (kqq/r2)q Е = kq/r2 (k = 1/4о)
Подставляя это выражение в формулу для потока вектора , получим:
ФЕ = = = Е = ЕS = (kq/R2)4R2 = q/о.
Действительно, поток ФЕ вектора сквозь сферическую поверхность S равен заряду, находящемуся внутри поверхности, деленному на о. Такая связь характеристики ЭСП (потока вектора ) с источниками его порождающими (с зарядами), с одной стороны, является важным законом природы (следствием закона «обратных квадратов» в зависимости сил электрического взаимодействия точечных зарядов), а с другой – выступает методом для решения основной задачи электростатики - расчета характеристик поля по известному распределению его источников - электрических зарядов. Это наглядно видно на примере точечного заряда и случая сферической поверхности, поток вектора через которую, пропорционален ее площади и, соответственно, квадрату ее радиуса.
Обобщая теорему о потоке вектора ЭСП на произвольную систему зарядов, получим:
=
q/о
где q = q - для дискретного распределения зарядов, создающих ЭСП (и поток ФЕ).
dl - для линейного,
и q = dS - поверхностного, - непрерывных распределений заряда по телу.
dv - объемного
и где = dq/dl - линейная, = dq/dS - поверхностная и = dq/dv - объемная плотности заряда, измеряемые в Кл/м, Кл/м2 и Кл/м3, соответственно. В случае равномерного распределения заряда производные заменяются отношениями: = q/l, = q/S и = q/V и представляют собой соответственно заряд единицы длины, единицы площади и единицы объема заряженного тела.
Учитывая, что в диэлектрической среде электрическое поле ослабляется в раз, вводят вспомогательную силовую характеристику , называемую электрическим смещением или вектором индукции электрического поля, связанную с основной силовой характеристикой ЭСП - вектором напряженности , следующим соотношением: = о
Э
=
= q
- поток вектора электрического смещения через любую замкнутую поверхность не зависит от размеров и формы этой поверхности, а определяется алгебраической суммой q свободных зарядов, находящихся внутри этой поверхности, и равен значению этого заряда.
ЭСП полностью характеризуется двумя теоремами: теоремой о циркуляции и теоремой о потоке вектора . Эти теоремы образуют полную систему уравнений ЭСП в интегральной форме.
В решении конкретных задач электростатики часто удобным оказывается использование энергетической характеристики - потенциала и вспомогательной силовой характеристики - вектора индукции ЭСП - . При этом необходимыми оказываются уравнения связи силовой и энергетической характеристик ЭСП = - grad и основной и вспомогательной силовых характеристик ЭСП = о
Фактически обе теоремы ЭСП эквивалентны одному закону Кулона и, по сути, являются его следствиями, - следствиями устанавливаемых этим законом основных свойств ЭСП - его потенциальности (консервативности сил ЭСП) и закона "обратных квадратов" в зависимости сил от расстояния.
Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы о циркуляции воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Стокса, связывающей циркуляцию вектора с поверхностным интегралом от ротора этого вектора:
= ,
где S – поверхность, ограниченная контуром L. Под ротором вектора понимают векторный дифференциальный оператор, задаваемый следующим образом:
rot = (Еу/z - Еz/у) + (Еz/х - Ех/z) + (Еx/y - Еy/x)
Физический смысл ротора вскрывают, устремляя поверхность S к нулю. В пределах достаточно малой поверхности ротор вектора можно считать постоянным и вынести за знак интеграла:
= rot = rot S.
Тогда, согласно теореме Стокса: rot = (1S) при S 0.
Отсюда ротор вектора можно определить как поверхностную плотность циркуляции этого вектора.
Так как в ЭСП циркуляция вектора равна нулю, то равен нулю и ротор вектора :
rot = 0.
Это уравнение и есть дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора в ЭСП.
Для перехода к дифференциальной форме записи теоремы Остроградского – Гаусса воспользуемся известной из векторного анализа теоремой Гаусса, связывающей поток вектора по замкнутой поверхности с интегралом от дивергенции этого вектора по объему, заключенному в этой поверхности:
= .
Под дивергенцией вектора понимают скалярный дифференциальный оператор (совокупность производных), задаваемый следующим образом:
div = Ех/х + Еу/у + Еz/z.
Физический смысл дивергенции вскрывают, устремляя объем V к нулю. В пределах достаточно малого объема дивергенцию вектора можно считать постоянной и вынести за знак интеграла:
= div = (1V) div . Тогда, согласно теореме Гаусса,
div = (1V) при V 0.
Отсюда дивергенцию вектора можно определить как объемную плотность потока этого вектора.
Соотнося теорему Остроградского – Гаусса = q/о = (1о) и теорему Гаусса = , видим, что левые их части равны друг другу. Приравнивая их правые части, получаем:
div = о.
Это уравнение и представляет собой дифференциальную форму теоремы Остроградского – Гаусса.