14

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ

Объяснение возникновения электромагнитных волн с позиций уравнений Макс­велла. Вывод волно­вого уравнения. Урав­нение бегущей электромагнитной волны и её основные свойства и характеристики.

Электромагнитные волны представляют собой распространяющиеся в простра­нстве взаимо­связанные колебания электрического и магнитного полей. В отли­чие от звуковых (акустических) волн, электромагнитные волны могут распро­страняться в вакууме.

К

ачественно механизм возникновения свободного (от источников в виде электрических зарядов и токов) электромагнитного поля может быть пояснён на основе анализа физической сущности уравнений Максвелла. Два фундамента­льных эффекта, отображаемых уравнениями Максвелла - электромагнитная инду­кция (порождение переменным магнитным полем переменного вихревого электри­ческого поля) и магни­тоэлектрическая индукция (порождение переменным элек­трическим полем переменного магнит­ного поля) приводят к возможности эле­ктрического и магнитного переменных полей быть взаимными источниками друг друга. Взаимосвязанное изменение электрического и магнитного полей и пре­дставляет собой единое электромагнитное поле, которое способно в вакууме распро­страняться в виде электромагнитных волн со скоростью света с = 310⁸ м/с.

В опыте электромагнитные волны были обнаружены в 1886 г Г. Герцем.

Бе­гущая плоская монохроматическая волна, задавется уравнением:

= cos (t – kх + ) и = cos (t – kх + ) , где /k =  = 1/(_о_о) - фазовая скорость волны.

Векторы и изменяются синфазно во времени, но во взаимно перпенди­кулярных плоскостях и перпендикулярно направлению распространения (скорости волны):  ,  ,  . Электромагнит­ная волна является, таким образом, поперечной волной.

В веществе скорость электромагнитной волны убывает в () раз, то есть  = с/() = 1/(_о_о).

Перенос энергии электромагнитной волной. Вектор Пойнтинга и его взаимосвязь с объём­ной плотностью энергии электромагнитного поля.

Распространя­ющиеся в пространстве электромагнитные колебания (электромагнитные волны) переносят энергию электрического и магнит­ного полей. Ранее мы получали выражения для объёмных плотностей энергии электрического и магнитного полей:

_э = _оЕ²/2 и _м = _оН²2 [Дж /м³].

Основной характеристикой переноса энергии волной является вектор пло­тности потока энергии, называемый (применительно к электромагнитным волнам) вектором Пойнтинга, численно равный энергии, переносимой через единицу пло­щади поверхности нормальной к направлению распространения волны, за единицу времени:   = Дж/м²с = Вт/м².

За единицу времени через единичную площадку пройдёт вся та энергия, ко­торая содержится в объеме V параллелепипеда (цилиндра) с основанием в 1 м² и высотой равной скорости  распростра­нения волны, то есть пути, проходимому волной за единицу времени:

S = V =  = (_э + _м)(_о_о) = _оЕ²2(_о_о) + _оН²2(_о_о) = [(_о _о)]Е²/2 + [(_о _о)] Н²/2.

Так как Е/Н = (_о/_о), то S = ЕН/2 + НЕ/2 = ЕН.

В векторной форме вектор Пойнтинга выразится как произведение векторов напряженностей электрического и магнитного полей: = [ ] =  .

Распространение электромагнитных волн в веще­стве. Фазовая и групповая скорости. Нормальная и аномальная дисперсии. Электронная теория дисперсии.

Уравнение бегущей монохроматической волны Е = Е_м cos (t – kх + ) является идеализа­цией реального волнового процесса. В действительности ему должна соответствовать бесконечная во времени и пространстве последовате­льность горбов и впадин, перемещающаяся в положитель­ном направлении оси х со скоростью  = /k. Эта скорость называется фазовой, ибо представляет собой быстроту перемещения в пространстве эквифазовой поверхности (поверх­ности постоянной фазы). Действительно, уравнение эквифазовой поверхности имеет вид: Ф = (t – kх + ) = const или, иначе, dФ = 0, то есть dt - kdх = 0, откуда dх/dt =  = /k.

Реальные волновые процессы ограничены во времени, то есть имеют начало и конец, и у них меняется амплитуда. Их аналитическое выражение может быть представлено в виде набора, группы, пакета волн (монохроматических):

Е = Е_{м } cos (t – k_ х + _)d

с близкими частотами, лежащими в узком интервале от  - /2 до  + /2, где    и близ­кими (не сильно различающимися) спектральными плотностями амплитуды Е_{м }, волновыми числами k_ и начальными фазами _.

При распространении в вакууме волны любой частоты имеют одинаковую фазовую ско­рость  = с = 1(_о_о) = 310⁸ м/с, равную скорости света. В вещественной среде за счёт взаимодействия электромагнитной волны с заряженными частицами (электронами прежде всего) скорость распространения волн начинает зависеть от свойств среды, её диэлектрической, и магнитной проницаемостей, согласно формуле:  = 1/(_о_о).

Диэлектрическая и магнитная проницаемости вещества оказываются зави­сящими от частоты (длины) электромагнитной волны, а, следо­вательно, и фазовая скорость распро­странения волны в веществе оказывается разной для разных её частот (длин волн). Этот эффект называется дисперсией электромагнитных волн, а среды называют диспергирующими. Веществен­ная среда может быть не диспергирующей лишь в некотором, не очень широком диапазоне частот. Совершенно не диспергирующей средой является лишь вакуум.

При распространении в диспергирующей среде волнового пакета, составляю­щие его волны с различающимися частотами будут обладать различными скорос­тями и с течением времени будут "разъезжаться" друг относительно друга. Волновой пакет будет в такой среде постепенно расплываться, рассеиваться, что и отражается термином "дисперсия".

Для характеристики скорости распространения волнового пакета как це­лого принимают скорость распространения его максимума - центра пакета волн с наибольшей амплитудой. Эту скорость называют групповой и, в отличие от фазовой скорости  = /k, она определяется не через отношение /k, а через производную u = d/dk.

Естественно, что в вакууме, то есть в отсутствие дисперсии, фазовая ско­рость (быстрота переме­щения эквифазовой поверхности) и групповая (быстрота переноса энергии волной) совпа­дают и равны скорости света. Понятие групповой скорости, определяемое через производную (быстроту изменения угловой часто­ты с ростом волнового числа) применимо только для несильно дисперги­рующих сред, где не очень сильное поглощение электромагнитных волн. Получим фор­мулу взаи­мосвязи групповой и фазовой скоростей:

u = d/dk =  - (k/k)d/d =  - d/d.

В зависимости от знака производной d/d, групповая скорость u =  - d/d может быть как меньше, так и больше фазовой скорости  электромагнитной волны в среде.

В отсутствие дисперсии d/d = 0, и групповая скорость равна фазовой. При положительной производной d/d  0, групповая скорость меньше фазовой, имеем случай, называемый нормаль­ной дисперсией. При d/d  0, групповая скорость волн больше фазовой: u  , этот слу­чай дисперсии называют аномальной дисперсией.

ОПТИКА