Расчёт эквивалентной схемы интерференционного опыта с двумя коге­рентными источни­ками света.

Эквивалентная схема интерференционного опыта представляет собой два точечных источ­ника света S₁ и S₂, разделённых расстоянием d и удалённых на расстояние l от экрана, на котором наблюдается интерференционная картина.

Волны, приходящие от источников S₁ и S₂ в некоторую точку М на экране, имеют разность хода r = r₁ – r₂. Выразим эту разность хода через параметры схемы l, d и .

Т

ак как r₂² = l² - (у + d/2)² и r₁² = l² + (у + d/2)², то r₁² - r₂² = (r₁ – r₂)(r₁ + r₂) = 2уd.

Обычно l  d, и тогда (r₁ + r₂)  2l, а r = r₁ – r₂  уd/l.

Из условия максимума: r = m, получим координаты максимумов: у_{m макс} = ml/d , где m  .

В центре экрана, при у = 0 и m = 0, имеем светлое пятно (максимум) для любых длин волн. Остальные же (боковые) максимумы с номерами m  0 в белом¹ свете окрашиваются, ибо положение у_{m макс} зависит от длины волны .

Из условия минимума: r = r₁ – r₂ = (m + 1/2) следуют координаты минимумов у_{m мин} = (m + ½)l/d.

Интерференционная картина характеризуется двумя параметрами:

- шириной b интерференционной полосы, равной расстоянию между соседними тёмными полосами (минимумами): b = у_{m, мин} - у_{m-1, мин} = l/d;

- расстоянием у между соседними полосами: у = у_{m макс} - у_{m-1 макс} = l/d.

Эти параметры равны друг другу. Имеем, так называемое, эквидистантное располо­жение полос.

Для заметного разноса у полос на экране удаление l экрана от источников должно быть много больше расстояния d между источниками света: l  d.

Если какая-либо из волн (или обе) проходят часть или весь путь r₁ (и/или r₂) не в вакууме (воздухе), а в среде с показателем преломления n₁ (n₂), отличным от единицы, то геометрическую разность хода r необ­ходимо заменять на оптическую. Оптический путь в n раз больше геометрического. Это связано с тем, что среда тормозит, замедляет световую волну в n раз по сравнению с вакуумом:  = с/n. Поэтому тот же путь преодолевается с меньшей скоростью за большее время, что эквивалентно увеличению пути. Можно отметить также, что в среде уменьшается в n раз длина световой волны:

 = Т = (с/n)Т = _о/n, где _о = сТ – длина световой волны в вакууме.

Интерференционную картину в есте­ственном свете можно наблюдать, испо­ль­зуя расщепле­ние узкого пучка света, выре­занного из поля излучения од­ного и того же источника. Расщеплённые пучки, проходя разные пути и, накладываясь друг на друга, дают в области пересечения интерфе­ренци­онную картину. Ниже рассмотрены три примера интерференции в естественном свете: 1) опыт со щелями Юнга, 2) бипризма Френеля, 3) зеркало Ллойда.

О

дним из первых интерфе­ренционных опытов с естественным светом явился опыт со щелями Юнга (1802 г). Свет от естественного ис­точника света S падает на непрозрач­ную диафрагму с от­верстием-щелью Щ₁, которая вырезает уз­кий пучок света, освещающий следующую непрозрачную ширму с двумя отверстиями-щелями Щ₂ и Щ₃. Эти щели расщепляют падающий на них пучок света на два взаимно когерентных пучка, которые, вследствие дифракционного уширения, распрос­траняются в виде расходящихся пучков и пересе­каются на экране, где и создают интерференционную картину.

Опыт с бипризмой Френеля.

Расщепление узкого пучка света, па­дающего от ис­точника S, осуществля­ется бипризмой - двумя призмами, скле­енными своими основа­ниями. Каждая из призм, преломляя падающий на нее пучок света, отклоняет его к своему осно­ва­нию. Поэтому за бипризмой оба пучка света пере­секаются и на экране дадут интерферен­цион­ную кар­тину. При­менительно к еди­ной эквива­лентной схеме роль двух точечных источников коге­рентного света здесь иг­рают мнимые изобра­жения S^ и S^ источ­ника S, давае­мые каждой из призм.

ДИФРАКЦИЯ СВЕТА.

Дифракция - близкое к интерференции и тесно взаимосвязанное с ней характерное волновое явление, наблюдаемое при рассеянии волн неоднородностями, соизмеримыми по величине с длиной волны  света. Дифракция проявляется в проникновении (загибании) волн в область геометрической тени и образовании там интерференционной картины в виде чередующихся максимумов и минимумов интенсивности (освещенности). Неоднородности создают условия для пространственного наложения разных лучей из одного и того же светового пучка, которые, являясь когерентными, способны ин­терферировать.

Из общего случая диф­ракции, называемой ди­фракцией Френеля, выде­ляют част­ный, но важный случай, назы­ваемый дифрак­цией Фраунго­гофера или ди­фракцией в па­раллельных лучах. Она имеет место, когда расстояния от неоднородности Н до ис­точника света S и до экрана (на котором наблюда­ется интерференционная картина) много больше размера неодно­родности.

О

бычно для наблюде­ния дифракции Фра­унгофера приме- няют собирающую линзу, в фока- льной плоскости которой и раз­мещают экран, где собира­ются идущие почти параллельным пуч- ком лучи, рассеянные неодно- родностью.

Основная задача теории дифракции - расчёт интенсивности (освещен­ности) в области за неоднородностями, препятствиями по заданному взаиморасположению источника света, неодно­родности и экрана. Строгое решение этой задачи осуществляется путём решения (интегрирования) уравнений Максвелла с заданными граничными условиями - очень сложно. Но еще до открытия эле­ктромагнитной природы света, Гюйгенсом и особенно Френелем, были заложе­ны основы упрощенно­го метода решения основной задачи теории дифракции.

Гюйгенс (1690 г) сформулировал принцип, согласно которому каж­дая точка волновой поверхности (до которой в данный момент дошла волна) становится элементарным (точечным) источником вторичных сферических волн, а оги­бающая этих вторичных волн даёт положение волнового фронта исходной вол­ны в следующий момент времени.

Френель дополнил принцип Гюйгенса утверждением о когерентности вторичных волн и предложил далее решать задачу дифракции как резуль­тат интерференции вторичных волн. В результате объединённый принцип Гюйгенса-Френеля можно сформулировать так: реальный источник света в задачах дифракции можно заменять совокупностью элементарных когерентных вторичных источников света, распределённых по его волновой поверхности² S.

Френель предложил конкретный простой метод выбора элементарных источников, при котором они выбираются в виде равновеликих по площади полос (зон Френеля) волнового фронта. При этом удаления от соседних зон до точки наблю­дения должны отличаться на половину длины волны, то есть разность хода волн, посылаемых соседними зонами в точку наблю­дения равна /2, а сами волны при­ходят в эту точку в противофазе и ос­лабляют друг друга. Поясним выбор этих зон на примере точечного исход­ного источника, излучающего сферические световые волны (метод зон Френеля фактически позволяет заменить интегрирование алгебраическим суммированием).

Размер (площадь) зоны Фре­неля подсчитывается по формуле: dS = Rr(R + r); при R = 1 м и r = 1 м, dS  1 мм², то есть зоны Френеля очень малы.

Результирующая амплитуда А_ в точке М на экране определится суммой (алгебраической) амплитуд А₁, А₂, А₃, … от элементарных вторичных источников - зон Френеля:

А_ = А₁ –А₂ + А₃ – А₄ + …  А_k = А₁ + (А₁/2 – А₂ + А₃/2) + (А₃/2 – А₄ + А₅/2) + …  А_k/2  А₁/2  А_k/2,

где знаки: плюс - для нечетного k и минус – для четного k (k – номер последней зоны Френеля).

Соседние зоны Френеля посылают свет в противофазе, и поэтому амплитуды посылаемых ими волн берутся с противопо­ложными знаками. По причинам, изложенным выше, значе­ние амплитуды монотонно убывает с ростом номера зоны Френеля: A_m-1  A_m  А_m+1.

Д

ля полностью открытого волнового фронта число зон Френеля очень велико (k  ) и вклад последней зоны практически равен нулю: А_k  0. Поэтому результирующее действие такого фронта равносильно, эквивалентно световому действию половины первой зоны Френеля А₁/2. Учиты­вая малость раз­меров зоны Френеля, можно считать что светит "точка", и свет идёт от источника к на­блюдателю прямолинейно. Это справедливо для распростране­ния света в однород­ном свободном про­странстве. Для неограниченного каки­ми-либо препятст­виями и неоднородностя­ми волнового фронта происходит взаимное погашение вторичных волн во всех на­правлениях кроме нормального к цен­тральной зоне Френеля (для выбранной точки наблюдения М). Свет как бы распространя­ется в узком канале в пределах первой зоны Фре­неля.

Дифракция Френеля на круглом отверстии и на непрозрачном диске.

Пусть между точечным источни­ком света S и экраном Э расположена непрозрачная ширма с отверстием диаметром d. Для точки М на экране отверстие откроет некоторое число k зон Френеля. Тогда амплитуда резуль­тирующей волны в точке М опре­делится выражением:

А_ = А₁/2  А_k/2, где знак плюс - для нечетного k и минус – для четного k; k – номер последней открытой зоны.

Суть метода зон Френеля в том и заклю­чается, что он интегрирование заменяет алгебраиче­ским суммированием и факти­чески подсчётом числа зон Френеля; при этом важной оказыва­ется степень чётности этого числа зон Френеля.

П

ри четном числе k зон Френеля, открываемых отверстием d для точки М, вследствие противофазности волн, посылаемых соседними щелями, результиру­ющая амплитуда в точке М будет минимальной. Получается нечто вро­де парадокса - напротив отверстия на экране получаем тёмное пятно (ми­нимум света).

Если же число k зон Френеля будет чётным для точки М, в ней будет максимальная ампли­туда: А = А₁/2 + А_k/2. Здесь две половинки крайних нечётных зон Френеля оказываются неском­пенсированными и обусловливают максимум освещенности в точке М.

С перемещением точки М по экрану от центра число k зон Френеля, открываемых отвер­стием d для точки М будет изменяться. Соответственно при разных удалениях точки М от центра экрана будем наблюдать чередую­щиеся максимумы и минимумы освещенности, т. е. на экране будет иметь место интерференционная картина.

На примере дифракции света на круглом отверстии можно проиллюстри­ровать соотношение между геометрической и волновой оптиками и предель­ный переход волновой оптики в геометри­ческую при увеличении размеров неоднородности (здесь - отверстия) до значений много больших длины вол­ны света. Действительно, если сделать отверстие довольно большого диаметра, то оно раскроет большое число k зон Френеля, так, что амплитуда пос­ледней открытой зоны А_k будет очень малой. И тогда разницы между макси­мумом А_макс = А₁/2 + А_k/2 и минимумом А_мин = А₁/2 - А_k/2 практически не будет заме­тно. Соответственно, на экране исчезает интерференционная картина. Он весь освещен равномерно, как того и требует геометрическая оптика.

Рассмотрим дифракцию Фре­неля на непрозрачном диске диаметром d. Пусть он закрывает для точки М на экране некоторое число m зон Френеля.

Тогда амплитуда результирующей све­то­вой волны в точке М будет равна:

А_ = А_m+1/2  А_k/2 = А_m+1/2, так как А_k/2  0.

Интересно, что прямо против центра непрозрачного диска имеем светлое пятно, что проти­воречит положениям геометрической оптики, прямолиней­ности распространения света, образова­нию тени за непрозрачными препятс­твиями. В своё время этот парадокс (эффект Пуассона - Араго) был выдвинут французской академией наук в качестве одной из важнейших оптических проблем. Теоретически его обосновал Пуассон, а экспериментально проверил и под­твердил Араго.

При смещении точки М от центра по экрану число m зон Френеля, закрываемых диском для точки М^, изменяется и, соответственно, изменяется освещенность экрана, т. е. максимумы сменя­ются минимумами, имеет место интер­ференционная картина.

На этом примере также можно проиллюстрировать предельный переход волновой оптики в геометрическую оптику. При увеличении размеров диска до значений, при которых он закрывает столь большое число зон Френеля, что первая открытая зона будет давать очень малую освещен­ность, всё поле пространства за экраном становится монотонно тёмным, превращаясь в обы­чную геометрическую тень. Лишь вблизи её границы будет наблюдаться сла­бая интерференционная картина. Таким образом, мы опять приходим к резу­льтату, что при d   имеем дифракционное загибание света в область те­ни и образования там интерференционной картины, при другом же соотно­шении d  , имеем прямолинейное распространение света и справедливость геометриче­ской оптики.

Дифракция Фраунгофера на длинной и узкой щели

Р

анее уже отмечалось, что в отличие от дифракции Френеля - в схо­дящихся лучах, дифрак­ция Фраунгофера - в параллельных лучах, для своего наблюдения требует применения собирающей линзы, в фокальной плоскости которой и располагается экран, фиксирующий интерференционную картину.

Пусть имеется длинная (l) и узкая шириной b щель в непрозрачном экране. Нормально к плоскости экрана падает пучок параллельных лучей (плоских волн).

З

а счёт дифракционного рассеяния свет после щели падает на линзу под всевозможными углами. Линза собирает параллельные лучи, упавшие на неё под некоторым углом , в некоторой точке М, где они интерферируют, ибо являются когерентными и обладают некоторой разно­стью хода, зависящей от yгла  и ширины щели b.

Разность хода  для крайних лучей, рассеянных щелью под углом  равна:  = bsin . (Линза считается таутохронной - не вносящей дополни­тельной разности хода в проходящие через неё лучи). Так как соседним зонам Френеля соответствует разность хода в /2, то вся щель раскроет для точки М число k зон Френеля, равное: k = (/2) = bsin (/2) = 2bsin .

Чётному числу k зон Френеля соответствует условие минимума освещён­ности для соответ­ствующего угла : 2bsin  = 2m  bsin  = m -

- условие минимума, где m  .

При m = 0 все зоны светят в одной фазе (разность хода посылаемых ими волн равна нулю) и максимально усиливают друг друга - имеем централь­ный максимум в дифракционном спектре.

При нечётном числе k зон Френеля имеем для соответствующего угла наблюдения  максимум освещенности (боковые максимумы в дифракцион­ном спектре): 2bsin  = (2m + 1) 

bsin  = (m + ½) - условие максимума, где m - порядок дифракционного максимума.

О

сновную долю света щель посылает в центра­льном макси­муме. Диф­ракци­онный спектр щели имеет вид, представленный на рисунке.

В белом свете центральный максимум остаётся белым, ибо его усло­вие не зависит от значе­ния длины волны. Боковые же максимумы для пада­ющего на щель белого света окрашиваются и "разъезжа­ются" друг относи­тельно друга тем сильнее, чем больше длина волны .

С увеличением длины волны  угол , под которым наблюдается мак­симум m - го порядка увеличивается, т. к. большей  соответствует бо­льшая необходимая разность хода , которая для своего обеспечения требует большего угла . Дифракционный спектр щели при этом растяги­ва­ется, максимумы становятся шире и разносятся на большие углы.

С увеличением ширины щели b угол , под которым наблюдается максимум m - го порядка уменьшается, т. к. необходимая разность хода  у более широкой щели достигается при меньшем угле отклонения . Диф­ракционный спектр при этом сжимается, максимумы становятся более узкими.

Дифракционная решетка, её спектр и характеристики.

Под дифракционной решеткой понимают спектральный оптический прибор, представляю­щий собой систему длинных и узких щелей или штрихов. Картина дифракции Фраунгофера на такой системе усложняется по сравнению с дифракционным спектром одной щели вследствие явления межщелевой интерференции света. Условие минимума для одной щели bsin  = m сохраняется в качестве такового и для решётки в целом, ибо понятно, что если, под некоторым углом  свет не посылает ни одна из щелей, то его под данным углом не посылает и решетка в целом. Условие же максимума для одной щели не может быть сохранено в качестве такового для решетки в целом, ибо, хотя каждая из щелей и посылает свет под некоторым углом, но в результате интерференции свет от отдельных щелей может гасить друг друга и давать в итоге минимум (свет плюс свет даёт тьму). Поэтому для более детального анализа картины дифракции Фраунгофера на решётке изобразим ход лучей, рассеянных ею под некоторым углом .

Максимумы, называемые глав­ными, будут наблюдаться под такими углами, при которых соседние щели светят синфазно, т. е. посылают волны с разностью хода кратной целому числу длин волн: dsin  = m , где d - расстояние между соседними щелями, называемое периодом или постоянной дифракционной решётки, а m   - порядок главного максимума (порядок спектра).

Главные максимумы в спектре дифракционной решётки воспроизво­дятся в виде узких световых полосок, называемых спектральными линиями.

Наложение межщелевой интер­ференции на картину дифрак­ции от одной щели проявляется ещё и в появлении добавочных минимумов. Они наблюдаются под углами, соот­ветствующими условию: dsin  = р, где  - полное число щелей в решётке и dsin  - полная разность хода лучей, посылаемых краями (началом и концом) решётки под углом . Число р принимает целочисленные значения, исключая 0 и кратные числу щелей N в решётке, т. к. при этих значениях имеют место соответственно центральный и боковые главные максимумы.

При р = 1, dsin  = р полная разность хода лучей посылаемых началом и концом решётки равна длине волны , значит первая половина щелей светит в противофазе второй половине и имеет место взаимопогашение, т. е. минимум (добавочный) в спектре решётки.

При р = 2 полная разность хода составляет 2. Здесь взаимно погашают друг друга волны света, посылаемые первой и второй четвертями всех щелей решётки, а также третей и четвёртой четвертями всех щелей, т. е. опять имеет место минимум.

П

ри р = N условие dsin  = р переходит в условие главного максимума первого порядка dsin  = . Все щели решётки светят под этим углом синфазно и дают максимум света, взаимоуси­ливая друг друга.

Между добавочными ми- нимумами размещаются доба- бавочные максимумы. В целом дифрак­ционный спектр решётки будет иметь следующий вид:

Этот спектр, как и спектр отдельной щели, сим- метричен относительно центра- льного макси­мума, который несёт в себе основную интенсивность света соответствующей длины волны. Боко­вые максимумы быстро убывают по интенсивности с ростом их номера.

В белом свете центральный максимум остаётся белым, а боковые максимумы окрашиваются Волны с большими длинами отклоняются на большие углы. Это отличает дифракционный спектр от призменного, где сильнее отклоняются волны с большей частотой, т. е. с меньшей длиной волны.

ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА

Представляя собой поперечные электромагнитные волны, свет обладает внутренней харак­теристикой (называемой поляризацией), отражающей возможность какого-либо упорядочения колебаний вектора (и, соответственно, вектора ) в плоскости перпендикулярной направлению распространения (вектору скорости ) волны.

Естественный свет является неполяризованным, в нем вектор с течением вре­мени рав­новероятно и неупорядо­ченно занимает любые направления (в плоскости перпендикулярной век­тору скорости волны).

В

еличина Р степени поляризации света, опреде­ляемая как отношение разности интенсив­ностей J₁ – J₂ двух выделенных взаимно перпендикулярных компонент к их cyммe J₁ + J_2, то есть: Р = (J₁ – J₂)(J₁ – J₂), может ме­няться в пределах от 0 % (неполяризованный свет) до 100 % (полностью поляризованный свет).

У

стройства, служащие для получения линейно поляризованного света из неполяризован­ного, называ­ются поляризаторами. Поляризатор обладает способно­стью пропускать свет с колеба­ниями вектора , парал­лельными некоторой плоскости, называемой плоскостью поляризатора. Т. к. в естественном свете колебания вектора всегда могут быть представ­лены в виде суммы двух равноправных взаимно перпендикулярных компонент, то поляризатор, про­пустив лишь компо­ненту параллельную своей плоскости, вдвое уменьшает интенсивность падающего на него естест­венного света, делая его линейно поляризован­ным.

Если же на поляризатор падает линейно поляризованный свет (по­ляризатор в этом случае называют анализатором), то на выход проходит компонента Е_//, параллельная плоскости анализа­тора М: Е_// = Е_оcos , гдe  - угол между вектором _о падающего на анализатор ЛПС и плоскостью анализатора. Интенсивность же ЛПС на выходе анализатора:

J_вых =  Е_//² = Е_о²cos²  = J_оcos² .

Соотношение J_вых = J_оcos² , связывающее интенсивности ЛПС на выходе и входе анализатора с углом между вектором _о и плоскостью анализатора, называется законом Малюса.

Е

сли на вход системы из поляризатора и анализатора, угол между плоскостями которых равен , падает естественный свет с интенсивностью J_ест, то интенсивность J_вых линейно-поляризо­ванного света на выходе системы будет равна: J_вых = (12)J_ест cos² .

Если на границу раздела двух сред с показате­лями преломления n₁ и n₂, падает пучок естественного света под таким углом _Б, при котором tg _Б = n₂n₁, то, согласно закону Брюстера, от­раженный луч оказыва­ется полностью линейно поляризованным в плоскости перпендикулярной плоскости падения. Пре­ломленный луч оказывается при этом частично (но наи­более) поля­ризован­ным, а угол между отраженным и преломлен­ным лучами составляет 90°.

Перпендикулярность отраженного и преломленного лучей вытекает из формул закона Брюстера и закона преломления света:

t g _Б = sin _Бcos _Б = n₂n₁

 sin  = cos _Б   + _Б = 2

sin _Бsin  = n₂n₁  =  - ( + _Б) = /2

1 Белым называют обычный (естественный, видимый свет), включающий в себя «семь цветов радуги».

2 Волновой обычно называют поверхность, до которой в данный момент дошли колебания волны. Такую поверхность еще

называют фронтом волны. Она является эквифазовой поверхностью, то есть все ее точки колеблются в одинаковой фазе.