Оптимальная фильтрация

Аналогично рассмотренной задаче об оп­тимальном управлении в технике связи существует задача об оптимальной фильтрации сигнала в присутствии по­мех. Эта задача весьма актуальна, так как ее решение позволяет повысить помехозащищенность приемника. Она предусматривает отыскание такой частотной (или переходной) характеристики фильтра, которая обеспечит наилучшее (в смысле определенного критерия качества) выде­ление сигнала из сопровождающих его помех. На основе тео­рии, разработанной А. Н. Колмогоровым (1941) и Н. Винером (1949), развит достаточно общин математический метод отыска­ния оптимальных характеристик фильтров, но подобно матема­тическому аппарату теории оптимального управления он эффек­тивен при условии, что имеются достаточно полные сведение о свойствах фильтруемого сигнала и помех. Кроме того, реше­ние удается доводить до конца лишь в случаях, когда структура выделяемого сигнала и сопровождающих его помех не слишком сложна, а используемый критерий качества удобен для матема­тического анализа.

Наиболее четкое решение задачи оптимальной фильтрации получено для случая, когда сигнал описывается точно известной функцией времени s(t), помехи n(t) представляют собой слу­чайный нормальный процесс типа «белого шума» (с одинаковой на всех частотах спектральной плотностью), а задачей прием­ника является обнаружение факта передачи сигнала s(t). Соот­ветственно в роли критерия качества выступают отношение сиг­нал-шум на выходе фильтра, так как чем больше это отношение, тем меньше вероятность пропуска обнаруживаемого сигнала или ложной тревоги (принятия ошибочного решения о наличии сиг­нала, когда в действительности он не передавался). Специфика такой задачи заключается в том, что, поскольку сигнал s(t) из­вестен, нет необходимости воспроизводить его форму на выходе фильтра. Достаточно, чтобы выходной сигнал фильтра представ­лял собой одиночный импульс появляющийся всякий раз, когда на вход этого фильтра поступает заданный сигнал s(t). Однако для достижения наибольшего отношения сигнал-шум (что по­зволит четко обнаруживать появление такого импульса на фоне случайно флуктуирующего напряжения шума) надо позаботиться о том, чтобы этот импульс имел по возможности большую ве­личину.

Проиллюстрировать идею построения оптимального фильтра для такого рода задачи можно на примере сигнала типа телеграфного. На рис. 76, а представлен телеграфный сиг­нал, несущий сообщение — слово «МИР», закодированное азбу­кой Морзе. Продолжительности точек, тире и пауз приняты крат­ными некоторому элементарному интервалу т — такту, так что полная длина сигнала «МИР» составляет 18 тактов. Вполне очевидно, что для получения на выходе фильтра максимального импульса в ответ на данный сигнал надо постараться так скон­струировать этот фильтр, чтобы он в некоторый момент времени просуммировал энергию всех элементарных импульсов, содержа­щихся в данном сигнале. Такую операцию можно выполнить с помощью устройства, схема которого приведена на рис. 76, б.

Рис. 76. Телеграфный сигнал (а) и схема согласованного с ним фильтра (б).

Оно состоит из линии задержки ЛЗ. с равноотстоящими друг от друга отводами и суммирующего устройства 2. Время задержки между соседними отводами ЛЗ в точности равно такту т. Если на вход JI3 подать сигнал «МИР» (рис. 76, а) то с каждого от­вода ЛЗ можно снять этот же сигнал с различными задержками во времени, кратными т: без задержки (^зі = 0) с отвода № 1, с задержкой на t₃₂=r с отвода № 2, с задержкой на ^зз = 2тс отвода № 3 и т. д. Спустя 17 тактов на последнем отводе ЛЗ (№ 18) появится первый импульс, соответствующий началу пере­дачи сигнала (первое тире буквы М), а на первом отводе — последний импульс (последняя точка буквы Р). При этом рас­пределение напряжений на всех отводах вдоль ЛЗ будет соот­ветствовать пространственной развертке сигнала в направлении, обратном текущему времени, как показано жирными черточками над изображением линии задержки. В момент, когда весь сиг­нал уложился в пределы ЛЗ, можно получить максимальный вы­ходной импульс, если просуммировать напряжения со всех от­водов линии, на которых данный сигнал создает напряжение. Такое суммирование осуществляет сумматор 2, входы которого присоединены к соответствующим отводам, как показано на рис. 76, б. Сигнал «МИР» включает в себя 10 элементарных посылок (по одной — каждая точка и по две — каждое тире), таким об­разом, используются для суммирования 10 отводов JI3, и выход­ной сигнал сумматора будет в 10 раз превышать элементарную посылку.

Покажем, что описанное устройство не только увеличивает напряжение, создаваемое заданным сигналом (это можно сде­лать и при помощи обычного усилителя), но и улучшает отно­шение сигнал-шум. Шум n(t) можно представить как случайно накладывающиеся па полезный сигнал s(t) элементарные им­пульсы той же длительности т, но произвольной полярности, на­пример, как на рис. 77, б. Суммирование в рассмотренном устройстве происходит только в интервалы, соответствующие на­личию импульсов в полезном сигнале (он вновь воспроизведен на рис. 77, а), т. е. в пределах заштрихованных участков графика n(t) рис. 77, б.

Рис. 77. Полезный сигнал (а), случайная помеха (б) и их сумма (е).

Заштрихованы участки сигналов, суммируемые фильтром, согласо­ванным с полезным сигналом.

Ввиду случайного характера шума число его импульсов с положительной полярностью примерно совпадает с числом импульсов отрицательной полярности, и при суммиро­вании большая часть их взаимно компенсируется. Действи­тельно, для реализации n(t), показанной на рис. 77, б, сумма импульсов, совпадающих по времени с импульсами полезного сигнала, равна всего лишь — 2, в то время как для полезного сигнала она составляет +10. Поэтому, несмотря на то, что на­ложение этого шума на полезный сигнал искажает его до не­узнаваемости (рис. 77, s), выходной сигнал у описанного фильтра изменяется незначительно, с +10 до +8.

Для обнаружения факта передачи заданного сигнала обычно выходной импульс фильтра у сравнивают с некоторым порогом . Если y> , принимают решение, что сигнал передавался; если же у< , то считают, что передачи не было. Можно принять, например, равным 5 — половине значения отклика фильтра на заданный сигнал в отсутствие помех. Тогда действие помехи, показанной на рис. 77, б, не вызовет ошибок ни типа ложной тревоги (в отсутствие сигнала у=—2< ), ни типа пропуска (при наличии сигнала у=8> ).

Рассмотренный пример построения оптимального фильтра для телеграфного сигнала позволяет сформулировать общее правило решения задачи синтеза оптимальных фильтров для известного сигнала s(t) любого вида при помехе типа нормального белого шума. Для этого достаточно обратить внимание на импульсную характеристику полученного фильтра. Импульсной характеристи­кой называют отклик y(t) динамической системы на входное воздействие x(t) в виде короткого одиночного импульса. Если подать на вход линии задержки на рис. 76, б элементарный им­пульс длительностью т, то он сразу же появится на отводе № 1, спустя т — на отводе № 2 и т. д. Проследив положение отводов, присоединенных к сумматору Б, нетрудно определить отклик данного фильтра на такой импульс. Он изображен на рис. 78, б.

Из сопоставления рис. 78, б с рис. 76,а ясно видно, что им­пульсная характеристика фильтра является зеркальным отобра­жением сигнала s(t), для оптимальной фильтрации которого данный фильтр построен. Это соотношение оказывается универ­сальным при любом виде сигнала s(t). Обозначая импульсную характеристику символом g(t), сформулированное условие можно записать в математической форме:

(33)

где Т_а — время задержки отклика фильтра относительно начала сигнала s(t). Если продолжительность сигнала равна Т_с, то для физически реализуемого фильтра Т₃>Т_С-

Рис. 78. Пробный импульс (а) и реакция на него (б) фильтра,

показанного на рис. 78,6.

Фильтр, импульсная характеристика которого связана с функ­цией, описывающей сигнал, соотношением (33), называется со­гласованным с данным сигналом. Согласованный фильтр яв­ляется оптимальным в случае, когда помеха представляет собой нормальный белый шум. Решение задачи оптимальной фильтра­ции при помехах иного вида сложнее и не всегда может быть получено теоретически. К этому вопросу мы еще вернемся впо­следствии.

Изображенная на рис. 76, б схема с линией задержки позво­ляет при вариации числа отводов и точек суммирования строить фильтры, согласованные и с другими телеграфными сигналами. Но очень часто сигналы s(t) бывают непрерывными и знако­переменными функциями времени, как, например, на рис. 79, а. В этом случае построить оптимальный фильтр с помощью уст­ройства с линией задержки помогает теорема В. А. Котельни- кова. Согласно этой теореме любой сигнал с ограниченной по­лосой частот можно описать без потери заключенной в нем ин­формации рядом чисел (дискретных отсчетов), равных мгновен­ным значениям данного сигнала через определенные промежутки времени т. Интервал дискретизации т должен быть не больше половины периода высшей частотной составляющей, присутст­вующей в сигнале. Описание сигнала s(t) (рис. 79, а) с помо­щью теоремы Котельникова показано на рис. 79, б. Очевидно, фильтр, согласованный с таким сигналом, должен иметь импуль­сную характеристику, отсчеты которой через такие же интервалы г будут следовать в обратном порядке, как на рис. 79, в. От­сюда вытекает общий путь реализации согласованного фильтра с линией задержки для любого сигнала: ог линии задержки дли­ной, соответствующей общей продолжительности сигнала, де­лаются отводы с шагом т, равным полупериоду высшей частот­ной составляющей сигнала; снимаемые со всех отводов напря­жения суммируются с коэффициентами, пропорциональными отсчетам сигнала в соответствующие моменты времени (с учетом их знака). Схема, реализующая этот принцип, приведена на рис. 80.

В отличие от ранее описанной (рис. 76, б) в этой схеме на­пряжения, снимаемые с каждого отвода </73, подаются на сум-

Рис. 79. Знакопеременный непрерывный сигнал (а), его представление дискретны­ми отсчетами (б) и импульсная характе­ристика согласованного фильтра (в).

матор через весовые элементы си. В качестве последних могут служить сопротивления, потенциометры или другие элементы, позволяющие устанавливать различные коэффициенты передачи, соответствующие нужным значениям отсчетов импульсной харак­теристики. Смена знака может производиться при помощи транс­форматора или инвертора.

Если вдуматься в принцип работы оптимального фильтра с линией задержки, то можно обнаружить, что он осуществляет умножение мгновенных значений входного сигнала x(t) на соот­ветствующие им по времени мгновенные значения известного по­лезного сигнала s(i) и выдает в качестве выходного сигнала y(t) сумму этих произведений:

(34)

Здесь индексом і (і=О, Г, 2, ..., п) обозначены номера последо­вательных отсчетов заданного сигнала s(t), а индексом і — номер текущего отсчета фильтруемого сигнала на последнем отводе линии задержки.

Действительно, в каждый /-й момент времени на выходе фильтра появляется сумма п предшествующих отсчетов мгновен­ных значений входного сигнала x(t), снятых с отводов ЛЗ и помноженных на весовые коэффициенты а,-. Последние согласно условию (33) соответствуют отсчетам заданного сигнала s(t) в те же моменты времени. В отсутствие помех [n(t) в формуле (26) равно нулю] имеем x(t)=s(t), и в фильтре происходит ум­ножение полезного сигнала s(t) на самого себя. В момент /=О, когда, распространяясь вдоль ЛЗ, входной сигнал s(t) совме­стится с собственным отображением, зафиксированным в весах

Рис. 80. Обобщенная схема согласованного фильтра с линией задержки.

а,-, на выходе фильтра появится максимальный отклик, так как просуммируются мгновенные значения сигнала, умноженные на себя, т. е. их квадраты — все положительные величины:

Эта же операция по отношению к другим сигналам, в том числе к случайному шуму ti(t), приводит к суммированию про­изведений независимых величин n,Si с разными знаками, кото­рые в значительной мере компенсируют друг друга. Поэтому при наличии во входном сигнале x(t) как заданного сигнала s(t), так и шума n(t), выходной сигнал оптимального фильтра в мо­мент /=0 представляется суммой:

(35)

в которой первая группа слагаемых, описывающая отклик на шумовую составляющую входного сигнала, невелика, а вторая группа слагаемых, отражающая реакцию на заданный сигнал, максимальна. Отношение этих двух групп слагаемых представ­ляет собой отношение мощностей сигнал-шум на выходе опти­мального фильтра:

(36)

причем, как показывает теория, это отношение пропорционально числу независимых отсчетов п фильтруемого сигнала, т. е. воз­растает с увеличением продолжительности сигнала s(7).

Рис. 81. Схема активного оптимального фильтра.

Если полоса частот, занимаемая сигналом, равна W, а дли­тельность сигнала Т_с, то согласно теореме Котельникова число независимых отсчетов такого сигнала

(37)

и называется базой сигнала. Таким образом, переходя от оценки отношения мгновенных значений сигнала и шума к оценке отно­шения сумм произведений (36), взятых по всей базе сигнала, видим, что оптимальный фильтр повышает отношение сигнал-шум в 2WT₀ раз.

Соотношения (34) — (35) подсказывают и другой способ тех­нической реализации оптимального фильтра, без использования линии задержки. Умножить входной сигнал x(t) на заданный известный сигнал и просуммировать мгновенные значения этого произведения можно при помощи устройства, показанного на рис. 81. Здесь собственно фильтрующим устройством служат два блока, обведенные штриховой рамкой, называемые корре­лятором. Первый блок коррелятора (X) осуществляет перемно­жение мгновенных значений напряжения сигналов, подводимых к двум его входам, а второй называемый интегратором (j ) суммируют получающиеся мгновенные значения произведений на протяжении определенного интервала времени Т. Для того чтобы коррелятор выполнил ту же функцию, что и оптимальный фильтр с линией задержки, надо на один его вход подать при­нимаемый сигнал х (t), на второй вход —образец заданного полезного сигнала s(t), а время интегрирования (суммирования произведений их мгновенных значений) Т взять равным дли­тельности сигнала Г_с. Поскольку заданный сигнал s(t) известен, в принципе всегда можно ввести в приемное устройство гене­ратор, вырабатывающий такой сигнал (ГЭС — генератор эталон­ного сигнала). Но этого мало. Для получения максимального отклика на полезный сигнал необходимо еще, чтобы эталонный сигнал генерировался синхронно с принимаемой его реализацией, присутствующей во входном сигнале x(t), т. е. начинался в тот же самый момент, что и принимаемый сигнал.

Оптимальные фильтры такого типа, использующие эталонные реализации выделяемых сигналов, называются активными фильт­рами. Активные оптимальные фильтры оказываются более уни­версальными: один и тот же коррелятор годится для выделения любых сигналов s(t)\ при переходе от приема одного сигнала к приему другого достаточно сменить генератор ГЭС и, если требуется, изменить время интегрирования Т. Фильтры же с ли­ниями задержки требуют перенастройки всех весовых коэффи­циентов, а возможно, и замены самой линии задержки (шага отводов т, их числа п и общей длины линии). В то же время активный фильтр нуждается в синхронизации ГЭС, которую не­легко осуществить при плохом отношении сигнал-шум.

Возможна еще одна реализация оптимального фильтра, об­ладающего заданной импульсной характеристикой (33).

Теория электрических цепей устанавливает однозначные со­отношения между импульсной g(t) и частотной K(f) характери­стиками. Поэтому по заданной импульсной характеристике g(t) можно найти соответствующую ей частотную характеристику K(f) и постараться сконструировать частотно-избирательный фильтр с необходимой характеристикой K(f). Если перейти от описания заданного сигнала в виде функции времени s(t) к опи­санию этого же сигнала с помощью его частотного спектра 5(f), то правило определения оптимальной частотной характеристики согласованного с заданным сигналом фильтра оказывается очень простым: амплитудно-частотная характеристика фильтра K(f) должна совпадать с амплитудно-частотным спектром сигнала

S(f) (рис. 82, а), а фазо-частотная cp(f)—с зеркальным отобра­жением фазо-частотного спектра сигнала <p_s(f) (рис. 82, б).

Рис. 82. Амплитудно-частотный (а) и фазо-частотный (б) спектры заданного сигнала (штриховые линии) и характе­ристики согласованного с ним фильтра (сплошные линии).

Достаточно общий путь синтеза оптимальных фильтров по заданным частотным характеристикам открывает та же теорема В. А. Котельникова. На этот раз ее можно применить для опре­деления необходимой точности аппроксимации заданных харак­теристик K(f) и cp(f) конечным числом отсчетов и составить оп­тимальный фильтр в виде набора параллельно работающих уз­кополосных частотных фильтров, в сумме обладающих нужной характеристикой.

Схема фильтра, основанного на этом принципе, показана на рис. 83.

Рис. 83. Схема оптимального фильтра в виде многоканального частотного анализатора.

Он состоит из ряда каналов одинаковой структуры, выходы которых суммируются устройством 2. Каждый канал вклю­чает в себя узкополосный частотный фильтр Ki(f), выделяющий узкую элементарную полоску частот, в пределах которой можно пренебречь частотной зависимостью спектра фильтруемого сиг­нала. Необходимый весовой коэффициент, соответствующий от­счету амплитудно-частотного спектра сигнала в районе этой по­лоски, обеспечивается выбором нужного значения коэффициента передачи весового элемента (5і. Требуемое значение фазы для каждого канала реализуется при помощи фазовращателя ср.-, введенного в данный канал. Элементарные частотные полоски всех т каналов сдвинуты одна относительно другой так, что в це­лом фильтр на рис. 83 перекрывает всю заданную полосу частот.

Таквй фильтр подобно фильтру с линией задержки является пассивным и создает на выходе у максимальный отклик на за­данный сигнал всякий раз, когда этот сигнал поступает на его вход, без какой-либо синхронизации. Структура этого фильтра интересна еще и тем, что допускает решение другой, несколько более общей задачи оптимальной фильтрации.

В телекоммуникационных системах чаще всего передаются сигналы, за­ранее неизвестные на приемном конце. К тому же ассортимент передаваемых сигналов зачастую безграничен. Это не позволяет ограничиваться задачей оптимального обнаружения известного сигнала, и более важной оказывается задача наилучшего выде­ления из помех любого возможного сигнала. Если, с одной сто­роны, совокупность всех возможных полезных сигналов не пред­определена и, с другой стороны, характеристики помех не из­вестны, то такую задачу решить нельзя. Но несмотря на то, что заранее неизвестны конкретные реализации возможных сигналов и помех, часто удается составить некоторые статистические их описания. В качестве таких статистических описаний могут быть взяты осредненные энергетические спектры полезного сигнала G,(f) и помех G_n(f), характеризующие спектральные плотности мощности на различных частотах f. Если, далее, принять в ка­честве критерия оптимальности фильтра среднеквадратичное от­клонение выходного сигнала y(t) от полезного сигнала s(t), то амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра, сводящего это отклонение к минимуму, т. е. обеспечивающего воспроизведение полезных сигналов с наименьшей ошибкой, должна иметь вид:

(38)

Очевидно, реализовать любую характеристику, рассчитанную таким способом, можно при помощи уже описанного устройства (рис. 83), если выбрать весовые коэффициенты |3; элементарных частотных каналов такими, чтобы их значения были пропорцио­нальны величине K(f) на частотах, соответствующих средним частотам этих каналов.

Решение (38) задачи оптимальной фильтрации по минимуму среднеквадратичной ошибки воспроизведения по­лезного сигнала справедливо в условиях не только белого шума, у которого спектральная плотность G_n(f) одинакова на всех частотах, но и при шумах с неравномерным спектром. В то же время в отличие от рассмотренных выше фильтров здесь даже при белом шуме оптимальная частотная характеристика зависит от отношения сигнал-шум. Действительно, когда мощность шума мала (на всех чэстотзх ), можно пренебречь вторым сла­гаемым в знаменателе правой части равенства (38), и коэффи­циент передачи оптимального фильтра в пределах полосы W частотного спектра сигнала оказывается постоянным (кривая 1 на рис. 84).

Рис. 84. Энергетический спектр по­лезного сигнала G_s(f) и оптималь­ные по критерию минимума средне­квадратичной ошибки воспроизведе­ния сигнала частотные характери­стики фильтра при помехе в виде белого шума.

По мере увеличения мощности шума при неоднород­ном спектре G_s (/) полезного сигнала оптимальная частотная характеристика становится все более неравномерной (2, 3 на рис. 84) и при G_n >G_s принимает форму, совпадающую с фор­мой энергетического спектра сигнала, так как теперь уместно пренебречь первым слагаемым в знаменателе правой части (38).

На этом мы закончим знакомство с основными идеями оп­тимальной фильтрации и в заключение отметим вырастающую из этой области задачу адаптивной фильтрации.

Как и в автоматических системах оптимального управления, для определения параметров оптимальных фильтров требуется обширная предварительная информация, от полного знания точ­ного вида временной функции s(t), описывающей полезный сиг­нал, и характеристик помех, до абсолютного значения напряже- шія сигнала, без чего нельзя выбрать правильный порог ре­шающего устройства. Несколько меньшая информация достаточна для реализации оптимального фильтра по критерию минимума среднеквадратичной ошибки воспроизведения полезного сигнала. Но и этот фильтр, значительно уступающий по помехоустойчи­вости согласованному, оказывается вовсе неэффективным, если неизвестны статистические спектры сигнала и помехи и отно­шение их мощностей. Реальные же условия радиоприема лишь в редчайших случаях бывают стабильными и заранее извест­ными. Как правило, одно и то же радиоприемное устройство ис­пользуется для приема различных как по спектрам, так и поуровню радиосигналов, на различных частотах широкого диа­пазона, при самых разнообразных помехах. Поэтому описанные оптимальные фильтры лишь в редких случаях могут быть эффек­тивно применены для повышения помехозащищенности радио­приемных устройств, если не предусматриваются дополнительные средства для их перестройки. Ручная перенастройка таких си­стем чрезвычайно сложна и трудоемка и, как правило, не мо­жет быть поручена оператору. Поэтому актуальнейшей задачей, стоящей на пути внедрения методов оптимальной фильтрации в практику, является создание автоматически приспосабливаю­щихся к изменяющимся ситуациям фильтров с быстродействую­щими устройствами адаптации.

Лекция

Адаптивные фильтры

Задача адаптивной фильтрации очень молода и еще не имеет единой общепринятой постановки. Существует лишь небольшое число работ, посвященных решению некоторых частных задач, порою весьма разнородных по содержанию и практической ценности. К области адаптивной фильтрации относят разработку самонастраивающихся решающих устройств в системах обнару­жения сигнала на фоне помех; в типичном случае такая задача сводится к автоматической установке порога решающего устрой­ства в зависимости от отношения сигнал-помеха и желаемого соотношения Между вероятностями ошибок различного рода (пропусками и ложными тревогами). В других случаях адап­тивными фильтрами считают устройства оптимальной фильтра­ции, например корреляционный обнаружитель типа показанного на рис. 81, когда значение некоторого параметра, скажем, мо­мента запуска генератора эталонного сигнала (синхронизация), подстраивается с помощью автоматической системы, анализиру- щей принимаемый сигнал. К адаптивным фильтрам по аналогии с одним из классов самонастраивающихся систем автоматиче­ского управления относят и такие устройства, в которых счи­таются неточно известными истинные характеристики самого фильтра, но известны желаемые, причем организуется подстройка фильтра под характеристики его модели (по типу устройства со структурной схемой па рис. 43). Однако наиболее интерес­ными для техники связи должны быть адаптивные фильтры, про­цесс оптимизации которых направлен на наилучшее согласова­ние их характеристик со свойствами фильтруемых сигналов и сопровождающих эти сигналы помех, так как именно эти пере­менные чаще всего изменяются в наиболее широких пределах, труднее всего предсказываются и в то же время оказывают са­мое сильное влияние на качество приема информации.

В любом случае адаптация рассматривается как процесс, организуемый на основе автоматического выявления и учета дополнительных сведений, отсутствовавших при изготовлении фильтра. Заранее неизвестными параметрами сигнала и помех могут быть их интенсивности, вид функции s(t), полоса частот W полезного сигнала, спектры G_s(f) и G_n(f) и т. д. В качестве подлежащих оптимизации параметров фильтра могут выступать весовые коэффициенты аг в схеме на рис. 80 или рі на рис. 83, отсчеты сигнала s(t), создаваемого ГЭС, и период интегриро­вания Т в схеме на рис. 81. Общепринято утверждение, что пол­ный отказ от учета каких-либо априорных сведений о сигнале и помехах исключает возможность разумной постановки и эф­фективного решения задачи адаптивной фильтрации, так что проблема сводится лишь к большему или меньшему сокращению объема априорной информации, которая требуется для построе­ния оптимального фильтра. Но и в такой постановке задача адаптивной фильтрации в вариантах, интересных для практики, оказывается достаточно сложной.

Иногда в работах по адаптивной фильтрации заранее пред­полагают, что необходимые сведения о входном воздействии (функция s(t), закон распределения помехи или спектры сиг­нала и помех) могут быть каким-то способом получены и сосре­доточивают внимание лишь на процедуре подстройки парамет­ров фильтра под оптимальные в соответствии с формулой (33) или (38). В таком виде решение задачи не встречает принци­пиальных трудностей и вписывается в известные способы авто­матического управления. Но при этом оказывается за бортом основная проблема адаптивной фильтрации — путь устранения априорной неопределенности, т. е. выявления недостающих све­дений о входном воздействии до того, как будет организована его эффективная фильтрация. По существу же вопрос стоит так: зная о сигнале и помехах очень мало, следует воспользоваться весьма недостоверными сведениями, получаемыми с помощью плохо настроенного фильтра, для улучшения его характеристик с целью получить более достоверные сведения о полезном сиг­нале. Как ни парадоксально звучит подобная постановка во­проса, она не лишена смысла и уже привела к разработке не­скольких интересных решений.

На рис. 85 приведена схема адаптивного фильтра, приближа­ющегося к оптимальному при обнаружении неизвестного повто ряющегося сигнала на фоне шума.

Рис. 85. Схема адаптивного фильтра — обнаружителя неиз­вестного повторяющегося сигнала.

Подобно оптимальному филь­тру на рис. 80, устройство включает в себя линию задержки ЛЗ, вдоль которой происходит пространственная развертка входного сигнала x(t), так что напряжения х_и х₂, ..., х_п, снимаемые с ее отводов, соответствуют взятым в обратном порядке после­довательным отсчетам мгновенных значений сигнала x(t) с ин­тервалами т, равными времени задержки между соседними от­водами линии. Вместо присутствующих в оптимальном фильтре (рис. 80) весовых сопротивлений а, в адаптивном фильтре по­ставлены перемножители, обозначенные на рис. 85 знаком «X». По мере адаптации фильтра коэффициенты, на которые каждый перемножитель умножает снимаемое с ЛЗ напряжение Хі, дол­жны стремиться к значениям, пропорциональным оптимальным весам cti. Выходы yi всех перемножителей суммируются уст­ройством 2, и таким образом формируется выходной сигнал фильтра у. Остальные элементы схемы на рис. 85 относятся к устройствам адаптации и образуют три системы: запоминания совокупности отсчетов входного сигнала x(t) (эту систему обра­зуют конденсаторы Си С₂, ..., С_п), запоминания весовых коэф­фициентов аі (представленные в виде напряжений, они хранятся с помощью конденсаторов С'и С'_г, ..., С'_п) и систему коррек­ции этих коэффициентов (к ней относятся переключатели Kl, К₂, ■ ■., Кп и адаптивное пороговое устройство АПУ)

Идея работы адаптивного фильтра основана на том, что в от­сутствие организованного повторяющегося сигнала любые соче­тания мгновенных значении напряжения на отводах J13 под действием шума n(t) равновероятны. При наличии же повто­ряющегося сигнала s(t) одной и той же формы определенная комбинация значений {*,} будет возникать чаще других. В связи с этим задача адаптации сводится к обнаружению моментов, когда возникает специфическое, повторяющееся чаще других распределение отсчетов {хі}, и к осреднению каждого из отсче­тов Хі, измеряемых на отводах JI3 в эти моменты. Тогда, не­смотря на случайные отклонения каждого измерения Хі от со­ответствующего значения Si из-за наличия шума, осредненныс по достаточному числу реализаций значения X; со временем бу­дут приближаться к Si и могут быть использованы в качестве весовых коэффициентов а,- для близкого к оптимальному обна­ружению ранее неизвестного сигнала s(/).

Для реализации такой процедуры запоминаемые на конден­саторах отсчетов (Си С₂, ..., С„) значения x_t, х₂, ..., х_п могут быть перенесены с помощью переключателей К\, /С₂, ■ ■ ■, Кп на конденсаторы весов (С'_ь С'₂, ..., С'„), подключенные ко вторым входам перемножителей. Надо применить автомат, который пере­водил бы эти переключатели в нижнее положение всякий раз, когда в JI3 попадает обнаруживаемый сигнал. В качестве такого автомата приходится применять далеко не совершенное уст­ройство, способное допускать много ошибок. Такое устройство — АПУ—присоединено к выходу фильтра и срабатывает всякий раз, когда выходной сигнал у превысит некоторый порог. Если входной сигнал x(t) содержит только шум n(t), то моменты срабатывания АІ1У будут совершенно случайными и передавае­мые при этом на конденсаторы весов напряжения с конденсато­ров отсчетов будут тоже случайными. В результате весовые коэффициенты будут случайно флуктуировать, оставаясь в сред­нем близкими к нулю. При наложении на шум обнаруживаемого сигнала вероятность срабатывания АПУ возрастает в связи с увеличением энергии входного воздействия, а следовательно, и суммарного напряжения у. Чем выше отношение сигнал-шум, тем вероятнее срабатывание АПУ в моменты появления обнару­живаемого сигнала. Но и при небольших отношениях сигнал-шум АПУ несколько чаще будет переводить переключатели в поло­жение переноса отсчетов па конденсаторы памяти, когда появ­ляется сигнал, чем в моменты его отсутствия. Это приведет к появлению сдвигов средних значений весов в сторону опти­мальных значений и увеличит частоту правильных срабатываний АПУ, так как начнет возрастать отклик фильтра на выявляемый сигнал. Процесс адаптации ускорится. Для одновременного уменьшения случайных срабатываний АПУ под действием шума в интервалы, когда обнаруживаемый сигнал отсутствует, выгодно порог срабатывания АПУ сделать адаптивным — повышающимся с увеличением отклика фильтра на обнаруживаемый сигнал Это достигается при помощи схемы, показанной на рис. 86. Сравнивающее устройство (СУ) срабатывает, когда напря­жение у на одном его входе превысит напряжение U_a на дру­гом, и переводит ключи К1, Кг Кп в нижнее по схеме (рис. 85) положение. Одновременно замыкается ключ К в схемесамого АПУ, причем напряжение у подается через сопротивле­ние R\ к конденсатору С и осуществляет его подзаряд. Таким образом, пороговое напряжение U_n после каждого срабатыва­ния СУ несколько возрастает. Это помогает в процессе адапта­ции автоматически повышать порог АПУ. Для того чтобы в ре­зультате одних случайных срабатываний от шума или по окон­чании наблюдения за данным сигналом s(t) работа системы не нарушалась вследствие сохранения высокого порогового напря­жения U_n, оно должно после каждого срабатывания СУ посте­пенно снижаться. С этой целью конденсатор С на рис. 86 за- шунтирован сопротивлением R₃. Частота срабатывания АПУ в отсутствие повторяющегося сигнала зависит от начального порогового напряжения, которое задается делителем из сопро тивлений R₂, R3, присоединенным к потенциометру R_t. С его помощью можно устанавливать благоприятное начальное значе­ние порога.

тивлений R₂, R3, присоединенным к потенциометру R_t. С его помощью можно устанавливать благоприятное начальное значе­ние порога.

Рис. 86. Схема адаптивного порогового устройства.

Взаимодействие всех описанных частей адаптивного фильтра приводит к тому, что, когда во входном воздействии x(t) нет повторяющегося сигнала s(t), происходят случайные срабатыва­ния АПУ, средние значения весов (напряжений на конденсато­рах С'ь С'г, ..., С'п) остаются нулевыми, и порог U_n в схеме АПУ сохраняет низкое значение. При появлении повторяющегося сигнала процент случайных срабатываний АПУ постепенно умень­шается, напряжения на конденсаторах весов стремятся к значе­ниям отсчетов Si повторяющегося сигнала, пороговое напряже­ние Uп возрастает и отклик фильтра у стремится к оптималь­ному, приобретая максимальные значения в моменты прихода данного сигнала s(t).

Описанный адаптивный фильтр позволяет не только обнару­живать заранее неизвестный сигнал, но и воспроизводить его форму. Действительно, так как в результате адаптации весовые коэффициенты О.І сходятся к последовательности отсчетов Si обнаруживаемого сигнала, становится известной его форма с точностью до числа п отсчетов, представленных напряжениями на конденсаторах С\, С"₂, ..., С'_п. Все устройство выглядит достаточно простым по принципу действия, но не в отношении теоретических проблем его описания или возможностей его практической реализации. Трудными для технического воплощения оказываются перемножители, число которых (я) может составлять сотни (я должно равняться базе самого «длинного» из обнаруживаемых сигналов, напри­мер, для сигнала длительностью в 0,1 сек при полосе 3 кгц величина 2 WT_C=2 ■ 30.00 • 0,1 =600). Что же касается теоретиче­ских проблем, то до сих пор отсутствует строгое обоснование сходимости процесса адаптации при произвольных интенсивно- стях сигнала и шума. Эксперименты показывают, что при высо­ких отношениях сигнал-шум адаптация протекает очень быстро и практически со второй-третьей реализации сигнала фильтр может вести себя как оптимальный. С уменьшением отношения сигнал-шум время адаптации, в особенности на первой стадии «схватывания» сигнала, возрастает, но даже при отношении по­рядка единицы с течением времени фильтр приближается к оп­тимальному. При очень низких отношениях сигнал-шум фильтр долгое время может совсем «не замечать» повторяющегося сиг­нала. Заметное влияние на «схватывание» сигнала оказывает соотношение между средним периодом его повторения и посто­янными времени схемы АПУ, а также выбор начального значе­ния порога, статистические характеристики шума, база сигнала и число отводов JI3. Упомянутые параметры, обнаруживаемых сигналов и сопровождающих их помех следует относить к числу характеристик, априорное знание которых необходимо для ус­пешной реализации рассмотренного класса адаптивного фильтра.

Второй пример адаптивного фильтраотносится к другому классу устройств, по-видимому, наиболее перспективных для техники связи,— к классу, основан­ному на так называемых непараметрических методах адаптации. Идея этих систем заключается в том, чтобы использовать апри­орные сведения о сигналах и помехах с целью выработки такого критерия качества работы фильтра, значение которого можно определить путем анализа принимаемых сигналов. Наличие та­кого критерия позволяет строить адаптивный фильтр в виде самонастраивающейся автоматической системы экстремального типа по блок-схеме, аналогичной рис. 42. В этом случае опти­мизатор отыскивает настройку фильтра (САУ на рис. 42), соот­ветствующую наилучшему значению заданного критерия ка­чества (оценку этого значения осуществляет блок оценки ка­чества БОК) ■

Основная трудность создания адаптивных фильтров этого класса заключается в изыскании эффективных критериев ка­чества. Критерии, известные в теории оптимальных фильтров, здесь, как правило, не приемлемы, так как они опираются на слишком полную априорную информацию о сигнале и помехах, наличие которой делает задачу адаптивной фильтрации неакту­альной. С другой стороны, если необходимый критерий найден, то открываются пути решения куда более общей задачи, чем, например, обнаружение повторяющегося сигнала фиксированной формы.

А. М. Бонч-Бруевичем [9] предложен адаптивный фильтр, позволяющий оптимизировать радиоприемное устройство теле­графных (двоичных) сигналов. В основу критерия качества кладутся сведения о соотношении вероятностей передачи еди­ницы р(1) (посылки) и нуля р(0) (паузы). Для многих теле­графных кодов это соотношение заранее известно.

Для простоты примем

р(1) = р(0) = 0,5, (39)

что характерно для равномерных кодов (например, кода Бодо) с равновероятной передачей всех символов.

Обнаружить появление на выходе приемника единицы или нуля можно с помощью порогового устройства (ПУ на рис. 87) с порогом Uменьшим напряжения г/(1), соответствующего приему телеграфной посылки.

Рис. 87. Схема адаптивного фильтра с настройкой по экстре­муму оптимального значения по­рогового напряжения U„.

Естественно, что при выполнении условия (39) приемник, без­ошибочно воспроизводящий передаваемые сообщения, будет вызывать срабатыва­ние ПУ в течение половины всего времени наблюдения:

2 /(1) = 0,57^і, (40)

где 2/(1) обозначает сум­марное время пребывания ПУ в состоянии «сработа­но», а Т — полное время на­блюдения. Выяснить какую долю Т составляет величи­на 2/(1) очень легко выде­лением постоянной состав­ляющей выходного напряже­ния ПУ, осуществляемым сглаживающей пульсацию цепочкой RC (ее постоянная времени r=RC определяет время наблюдения Т).

Таким образом, поиск характеристик фильтра Ф, оптималь­ных с точки зрения наиболее достоверного воспроизведения теле­графного сигнала, можно было бы подчинить выполнению усло­вия (40), отклонение от которого оценивается с помощью узлов ПУ и RC. Однако более эффективную процедуру можно ор­ганизовать, если дополнительно учесть, что по мере приближе­ния характеристик фильтра к оптимальным должно возрастать напряжение у( 1), создаваемое на его выходе телеграфными посылками. При этом само пороговое напряжение U_n, отвечаю­щее условию (4Q), должно также увеличиваться, и его макси­мальное значение соответствует оптимальной характеристике фильтра Ф. Этот критерий качества и положен в основу описы­ваемого адаптивного фильтра.

Как и в фильтре на рис. 85, здесь осуществляется одновре­менная оптимизация двух устройств: собственно фильтра и по­рогового устройства. Но если раньше оптимизация собственно фильтра (весовых коэффициентов а,) была направлена на вы­явление точных значений п параметров сигнала, являющегося определенной функцией времени s(t), то теперь удается опти­мизацию фильтра (в пределах предусмотренных возможностей его перестройки) подчинить согласованию его характеристик с целым классом телеграфных сигналов, для которых справед­ливо лишь одно условие (39). Эта оптимизация происходит при непрерывном контроле отношения сигнал-шум на выходе фильтра и обеспечивает его максимизацию.

Процесс адаптации можно представить в виде двух этапов> в действительности протекающих одновременно: установки оп­тимального порога U„ в соответствии с условием (40) и поиска характеристик фильтра Ф, приводящих к максимальному повы­шению порогового напряжения. Первую задачу выполняет опти­мизатор I, изменяющий пороговое напряжение U_n в зависи­мости от отклонения напряжения U_t на выходе і?С-цепочкн от заданного значения U₀, соответствующего условию (40). Эта система представляет собой обычное устройство автоматического регулирования, стабилизирующее выход Uі на заданном уровне при наличии возмущающего воздействия, в роли которого вы­ступают изменения сигнала у. Вторую задачу решает поисковая самонастривающаяся система, которая включает в себя опти­мизатор II, вырабатывающий управляющие воздействия х_у, и блок оценки качества БОК, организующий работу оптимиза­тора с целью достижения максимального значения U_n.

Мы не будем более детально обсуждать принципы построения каждого из узлов системы и пути их реализации но отметим, что, в отличие от фильтра на рис. 85, в последней схеме возможен широкий выбор структуры и ассортимента настраиваемых пара­метров фильтра Ф. В частности этот фильтр может быть введен в тракт усиления промежуточной частоты приемника (тогда ПУ должно быть включено после детектора), а структура его мо­жет соответствовать схеме на рис. 83, причем оптимизируемыми параметрами будут весовые коэффициенты (5;.

Достижение эффективной работы адаптивного фильтра тре­бует определенного согласования скоростей отработки системы оптимизации порога, поисковых движений и настройки характе­ристик фильтра. Кроме того, время наблюдения, задаваемое це­почкой RC, должно быть согласовано с темпом телеграфной передачи. Действительно гибкий и успешно действующий при широких вариациях характеристик сигналов и помех адаптивный фильтр должен был бы включать в себя еще несколько систем оптимизации, изменяющих время наблюдения, уставку напряже­ния Uо, ассортимент подстраиваемых параметров фильтра Ф и т. д. Однако сейчас еще не выработаны подходы к решению таких комплексных задач адаптации, хотя принципиальная воз­можность их решения не вызывает сомнений, если вспомнить, насколько эффективно справляются с одновременным приспо­собительным регулированием потрясающего числа взаимосвя­занных переменных живые системы.

1

2

3

4

(19)