Оптимальное управление

Под оптимальным управлением понимается применение та­кого управляющего воздействия x_Y(t), которое обеспечивает достижение наилучшего значения какого-либо заранее обу­словленного показателя качества управления объектом. Чаще всего такими показателями бывают быстродействие (время, затрачиваемое на перевод объекта в заданное состояние, являю­щееся целью управления), минимум энергетических затрат (сум­марной энергии, затрачиваемой управляющим устройством на пе­ревод объекта в заданное состояние) или минимальная погреш­ность воспроизведения следящей системой заданного сигнала при наличии мешающих возмущений (помех).

Для иллюстрации идеи оптимального управления рассмот­рим условия наибольшего быстродействия следящей системы (рис. 32).

Предположим, что движок реохорда Rі быстро переведен в новое положение, вследствие чего появилось некоторое на­пряжение С/_£, свидетельствующее о рассогласовании истинного значения выхода 0_1Г с заданным в₃. Усиленное усилителем У напряжение ошибки подается на обмотку электродвигателя РД и вызывает его вращение в направлении, соответствующем уменьшению ошибки. При не очень большом значении произве­дения коэффициентов передачи в прямой и обратной ветви |3/С переходной процесс в системе будет апериодическим — типа 1 на рис. 22. В связи с тем, что динамические свойства электро­двигателя сложнее, чем у инерционного звена первого порядка, форма переходного процесса несколько отличается от кривой 1 на рис. 22. Чтобы лучше разобраться в этом вопросе, помимо управляющего воздействия на электродвигатель — напряжения £/д, поступающего на него с выхода усилителя У (рис. 32), и выходной переменной — угла поворота вала 0_И, примем во внимание еще одну внутреннюю переменную, описывающую состояние двигателя,— скорость вращения его вала v.

На рис. 38 изображены графики изменения выхода 0_И, сигнала ошибки U_e, пропорционального разности ®₃— ©и, на­пряжения на обмотке двигателя £/_д и скорости его вращения v после скачкообразного изменения задающего воздействия 0₃. В первый момент t\, когда появляется ошибка Uа вместе с ней и напряжение на обмотке двигателя С/_д, скорость его вращения равна нулю, так как в силу инерции двигатель не сразу трогается с места и лишь со временем набирает скорость, соответствующую подведенному к нему напряжению. В период разгона (t\ —t₂ на рис. 38) первоначальное рассогласование сначала уменьшается медленно, а затем все быстрее. Однако с уменьшением рассогласования начинают падать и напряжения U_i И [/д. В результате этого, набрав в некоторый момент t₂ наибольшую скорость вращения, при которой ошибка 1/_Е умень­шается наиболее быстро, двигатель снова начинает замедлять свое вращение и при подходе системы к балансу (@_и = @з, U_s =0) останавливается в момент U.

Рис. 38. Переходный процесс в замкнутой сле­дящей системе при малом значении произве­дения р.К.

Если несколько увеличить произведение (3/С (например, под­мять усиление усилителя сигнала ошибки и применить двига­тель большей мощности), то можно получить переходной про­цесс с перерегулированием — с одним выбросом в сторону ошибки противоположного знака (типа 2 на рис. 22). Более точные графики изменения переменных ©и, U_д и v для рас­сматриваемой системы приведены на рис. 39.

Рис. 39. Переходный процесс в замкнутой си­стеме при повышенном значении произведе­ния р/С, сопровождающийся одним выбросом.

Из них видно, что электродвигатель, обладая избыточной скоростью подхода к за­данному положению по инерции проскакивает его в момент t₃ и возвращается в это положение в момент U под влия­нием напряжения ошибки U_t, сменившего знак в момент

Дальнейшее увеличение произведения приведет к появ­лению колебательности (многократных проскоков заданного зна­чения 0з, как у кривой 3 на рис. 22) и увеличению общей про­должительности переходного процесса.

Таким образом, в рассмотренной системе наибольшее быстро­действие достигается при некотором оптимальном значении про­изведения р/С. Однако дополнительные возможности повышения быстродействия открываются, если отказаться от условия, что управляющее воздействие (в его роли выступает здесь напряжение Uд, подводимое к двигателю) прямо пропорционально сигналу ошибки и_г. Выяснением оптимального вида управляю­щего устройства, формирующего это воздействие, занимается теория оптимального управления.

Оптимальное решение данной задачи подсказывается наблю­дением за поведением водителя городского транспорта на ко­ротких перегонах. Вагоновожатый, например, стремясь быстрее провести трамвай от одной остановки до другой, трогая с места, быстро подает на двигатели полное напряжение, до предела ускоряя их разгон, а приближаясь к очередной остановке с большой скоростью, вводит принудительное торможение.

Следуя этому приему, оптимальное по быстродействию уп­равление в следящей системе надо построить так, как это по­казано на рис. 40.

Рис. 40. Переходный процесс в следящей си­стеме при оптимальном по быстродействию управлении.

При появлении ошибки в момент 11 надо сразу же подать максимально возможное напряжение + Уд. макс на двигатель и держать его в течение некоторого времени неизменным, не­взирая на уменьшение ошибки U_е . В этом случае двигатель быстрее всего наберет максимальную скорость + у_Макс- Для того чтобы не проскочить по инерции заданное положение, надо за­благовременно, в определенный момент времени t₂, снять напря­жение Н-ІУд. макс и для быстрейшего торможения подать на двигатель напряжение противоположной фазы,— {/_д. маис, стре­мящееся сменить направление вращения двигателя. Момент вре­мени t₂ должен быть выбран так, чтобы скорость вращения двигателя обратилась в нуль точно в тот момент, когда выход­ная переменная 0_И будет равняться заданному значению (когда ошибка U_t обратится в нуль). В этот же момент t₃ надо снять напряжение с двигателя.

В полученном решении используются максимально возможные значения управляющего воздействия в сочетании с переключе­нием направлений такого воздействия (релейное управление). Это типично для многих задач оптимального управления. По­скольку величина ошибки обычно изменяется непрерывно, то управляющие устройства оптимальных систем, как правило, должны быть нелинейными, которые отличаются отсутствием про­порциональности между величиной ошибки и управляющим воз­действием. Это обстоятельство существенно усложняет расчет и техническую реализацию оптимальных систем. Но еще более трудной задачей оказывается определение моментов переключе­ния управляющего воздействия, обеспечивающих точную оста­новку системы в заданном состоянии. Насколько непроста эта задача, хорошо знают пассажиры метро, выходящие на стан­циях без посадочных платформ, где вожатый должен остановить поезд так, чтобы двери вагонов точно совпали с дверями станции.

Для расчета момента начала торможения надо точно знать динамические характеристики объекта (инерцию, скорость тор­можения под действием максимального управляющего воздей­ствия) и точно контролировать текущее состояние системы (ско­рость, рассогласование). Малейшая ошибка в определении мо­мента переключения управляющего воздействия приводит к тому, что система либо не дойдет до заданного состояния, либо про­скочит его. Для автоматического расчета моментов переключе­ния в оптимальных системах в состав управляющего устройства зачастую приходится вводить быстродействующие ЦВМ.

Для теоретического определения оптимальных управлений при­влекаются сложные математические аппараты (вариационное ис­числение, динамическое программирование, принцип максимума Понтрягина), которые приводят к весьма громоздким выклад­кам даже при решении относительно простых задач. Необходи­мый объем вычислений, которые должно осуществлять управляю­щее устройство, оказывается не всегда доступным даже для современных быстродействующих ЦВМ. Регулярные методы ре­шения разработаны лишь для задач управления линейными ди­намическими системами с постоянными параметрами при зара­нее известных задающих и возмущающих воздействиях. В этот класс устройств не попадает, например, такое простое устрой­ство, как усилитель с регулируемым коэффициентом усиления, используемый в системе АРУ. Ограничивает сферу эффективного приложения теории оптимального управления и узкий ассорти­мент показателей качества, на который ориентировано большин­ство законченных исследований в этой области. Эти критерии (быстродействие, экономичность, точность) сосредоточивают вни­мание на характеристиках самого процесса управления, а желае­мое состояние объекта и его характеристики считаются задан­ными. Более общей задачей автоматических систем является автоматический выбор наилучшего, или во всяком случае доста­точно хорошего, состояния и благоприятных характеристик объ­екта с учетом изменяющихся задающих и возмущающих воздей­ствий. При этом надо задавать не требуемое состояние объекта, а некоторый показатель качества взаимодействия объекта со средой. В зависимости от этого показателя автоматическая си­стема должна сама изменять задачу управления и характери­стики объекта. Такого рода постановка задачи характерна для еще только зарождающейся области автоматики, посвященной разработке самоприспосабливающихся систем управления.

Лекция