8.1. Основные понятия о напряжениях и деформациях в грунтах

Внешние нагрузки, передающиеся на грунт, представляют собой механические силы, которые могут быть поверхностными или объемными.

Поверхностная нагрузка вызвана действующими на поверхность тела (массива грунта, образца и т. п.) силами, которые создаются инженерным сооружением или действием сил от соседнего объема грунта. Интенсивность (q) поверхностной нагрузки равна отношению силы (Р) к площади ее действия (S): q =Р/S.

Поверхностные нагрузки подразделяются на равномерно- и неравномерно-распределенные. Равномерно-распределенная нагрузка вызвана одинаковыми по величине силами, действующими по всей рассматриваемой поверхности; неравномерно-распределенная нагрузка вызвана разными или одинаковыми силами, действующими на отдельные участки поверхности. Если размеры площади действия поверхностной нагрузки малы по сравнению с площадью всего тела, то ее можно считать сосредоточенной. Сосредоточенная нагрузка, действующая в точке, является частным случаем неравномерно-распределенной нагрузки когда площадь приложения нагрузки стремится к нулю S→0: q=limР/S.

Объемные нагрузки могут быть приложены к любой части объема, одной из объемных нагрузок грунта является его собственный вес.

Под действием внешних (поверхностных и/или объемных) сил в грунте возникают механические напряжения, являющиеся мерой этих сил. Рассмотрим произвольный объем грунта на который действуют внешние силы Р₁, Р₂, Р₃, …Р_i. Проведем через тело произвольное сечение, проходящее через точку М, и мысленно отбросим его правую часть (рис. 8.1, а). Оставшаяся часть находится в равновесии, а равнодействующая сил, действующих на элементарной площадке ΔS, нормаль которой совпадает с осью х, будет равна ΔP. Их интенсивность равна величине q = ΔP/ΔS, напряжением в точке М будет предел интенсивнос­ти q при ΔS→0, т. е. q= Lim(ΔP/ΔS), отсюда единица измерении напряжения – Паскаль (1 Па = 1 Н/м² = 10 ^–1кгс/см²).

• Рис. 8.1. Силы и напряжения в объеме грунта: а) действующие на объем грунта внешние силы (Р₁, Р₂, Р₃) и равнодействующая внутренних сил ΔP на элементарной площадке ΔS; б) компоненты касательных и нормальных напряжений [50]

Разложив q на составляющие, действующие по нормали к площадке ΔS и вдоль нее, получим q² = σ²+τ² (плоский случаи, когда ΔP лежит в плоскости z, x), или для объемного случая q²= σ²+τ_y²+ τ_z², где τ_y и τ_z – компоненты напряжений τ, лежащие в плоскости z, у, и действующие вдоль осей Z и Y.

Напряжения, действующие по нормали к площадке ΔS, называется нормальными (σ), а действующие вдоль нее – касательными (τ).

Напряжение является векторной величиной, характеризующейся точкой приложения и направ­лением действия. Совокупность всех векторов напряжений для всех площадок, проходящих через точку М, характеризует напряженное состояние в точке. Оно определяется тензором напряжений (Т_п), компонентами ко­торого являются три нормальных (σ_x, σ_y и σ_z) и шесть касательных (τ_xy= τ_yx, τ_yz=τ_zy, τ_zx=τ_xz) напряжений (рис. 8.1, б).

Компоненты нормальных (σ_x, σ_y и σ_z) и касательных (τ_xy=τ_yx, τ_yz=τ_zy, τ_zx=τ_xz) напряжений вызывают соответствующие им компонен­ты нормальных (ε_x, ε_y и ε_z) и касательных (γ_xy=γ_yx, γ_yz=γ_zy, γ_zx=γ_xz) деформаций. При действии на тело всесторонних нагрузок, например, гидростатического обжатия (σ_v=σ_y=σ_z=σ_x), в нем возникают объемные деформации (ε_v).

Нормальные напряжения могут быть положительными при сжатии или отрицательными при растяжении. Они вызывают изменение объема и формы тела; касательные напряжения вызывают изменение формы тела, т. е. от­ражают деформации.

Механической деформацией называется изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещением под действием механических напряжений. Выделяют линейные деформации (ε), вызванные нормальными напряжениями (σ); касательные (γ), или сдвиговые деформации, вызванные касательными напряжениями (τ).

Различают деформации упругие (после снятия нагрузки форма и объем тела полностью восстанавливаются), пластические (после снятия нагрузки форма и объем тела восстанавливаются не полностью) и разрушающие (грунт теряет сплошность, разрушаясь на части).

Линейные деформации могут быть положительными, т. е. деформациями сжатия; и отрицательными, т. е. деформациями растяжения.

Кроме того, могут возникать механические деформации изгиба и кручения, формирующиеся под действием внешних нагрузок в зависимости от способа их приложения к телу.

Мерой линейных деформаций является относительная линейная деформация (ε), определяемая как отношение приращения длины, или абсолютной линейной деформации (Δl), к начальной длине (l₀):

ε=Δl /l₀,

где Δl =l₀–l. Она измеряется в % или в долях единицы.

Мерой касательных деформаций является относительная деформация сдвига (γ), д. ед. равная тангенсу угла перекоса (рис. 8.2, б):

γ=l/h=tgά.

Мерой объемных деформаций тела является относительная объем­ная деформация (ε_v), которая равна сумме относительных линейных дефор­маций по трем координатным осям (рис. 8.2, б):

ε_v = ΔV/V= ε_x+ε_y+ε_z,

где ΔV – абсолютное изменение объема, V – первоначальный объем тела.

Основные механические свойства грунтов, характеризующие их сопротивляемость внешним воздействиям, в общем случае определяются следующими условиями:

• законом сжимаемости, т. е. зависимостью между действующими нормальными напряжениями и соответствующими объемными деформациями, или изменениями коэффициента пористости,

• законом формоизменения, или сдвига, т. е. зависимостью между касательными напряжениями и деформациями сдвига,

• условием предельного состояния или прочности грунтов, определяющим предельное соотношение между нормальными и касательными напряжениями в грунте по площадкам скольжения.

а) б) в)

Рис. 8.2. Деформации тела при а) одноосном сжатии, б) деформации сдвига и в) всестороннего сжатия [50]

Одним из важнейших вопросов в механике грунтов является установление зависимости между напряжениями и соответствующими им деформациями, т. е. установление функций вида ε=f(σ), γ=f(τ). Эти зависимости являются нелинейными и зависят от большого числа факторов, поэтому не существует универсальных уравнений описывающих эти взаимосвязи, которые обычно устанавливаются опытным путем. Для частных случаев эти зависимости являются линейными и описываются простыми линейными уравнениями для нормальных, касательных и объемных напряжений, известными в механике как закон Гука, в виде:

σ = Еε, τ = Gγ, σ_v = Кε_v,

где Е – модуль Юнга (или модуль упругости), Па; G – модуль упругого сдвига, Па; К – модуль объемной упругости, Па.

При одноосном сжатии образца под напряжением σ_z происходит измене­ние как продольных, так и поперечных размеров тела. При этом связь продольных (ε_z) и поперечных (ε_x) деформаций с напряжением, в общем виде, характеризуется зависимостями, представленными на рис. 8.3, a. По мере роста напряжения прямо пропорционально увеличивается деформация и до точки А (или А') выполняется закон Гука, который для продольных и поперечных деформаций записывается и виде: σ_z= Е ε_z, а также σ_x= Е ε_x. Напряжение σ_упр, соответствующее точке А (или А'), называется пределом пропорциональности, совпадающим с пределом упругости материала данного тела. В общем случае они могут не совпадать. В случае нелинейной упругости тело может деформироваться упруго не до точки А, а до точки В (рис. 8.3, а) и на участке АВ закон Гука уже не выполняется.

В общем случае деформация образца складывается из двух частей – обратимой и необратимой (остаточной) деформации (рис. 8.3, б):

ε_общ= ε_обр +ε_ост,

где ε_общ – общая деформация образца (рис. 8.3, б, отрезок 0В); ε_обр – обратимая, или упругая, деформация (отрезок ВБ); ε_ост – остаточная, или необратимая, пластическая деформация (отрезок Б0).

Аналогичные соотношения имеют место для сдвиговых (γ) и для объемных (ε_v) деформаций:

γ_общ= γ_обр +γ_ост;

ε_vобщ= ε_vобр +ε_vост.

Эти соотношения имеют место также для трех компонент линейных и шести компонент касатель­ных деформаций (рис. 8.1, б).

а) б)

Рис. 8.3. Графические зависимости: а) продольных и поперечных деформаций при одноосном сжатии, б) напряжения и деформации при нагрузке и разгрузке образца [50]

Обратимые деформации являются следствием упругих свойств тела. Причинами обратимости деформаций при снятии напряжений являются: проявления сил взаимного отталкивания между атомами в кристаллической решетке тел при их механическом «сближении»; проявления упругих свойств газов и жидкостей в порах (микропустотах) грунта; возникновение сил «расклинивающего» давления в дисперсных грунтах.

Необратимые деформации являются результатом проявления пластических свойств тела. Основными причинами необратимости пластических деформаций являются: необратимое (невосстанавливаемое) разрушение отдельных структурных связей при деформировании; необратимое смещение частиц (кристаллов, зерен, обломков и др.); отжатие воды и газов из пор; постепенное накопление микродефектов в структуре грунта, которые сами по себе не восстанавливаются. Необратимые, или пластические, деформации в наибольшей степени характерны для дисперсных, особенно пластичных, грунтов (со слабыми коагуляционными структурными связями). Проявление пластических свойств тела обусловливает нелинейность связи напряжений и деформаций [50].

Как было отмечено выше, механические свойства грунтов проявляются под воздействием на них внешней нагрузки (веса сооружений и вышележащих слоев грунта) под влиянием которой они находятся в напряженном состоянии. К. Терцаги предложил для полностью водонасыщенного деформирующегося под нагрузкой глинистого грунта модель двухкомпонентной грунтовой среды в виде заполненного водой цилиндра, внутри которого находится стальная пружина, имитирующая грунтовый скелет (рис. 8.4, а). Цилиндр закрыт поршнем, при движении которого происходит сжатие пружины и отток воды через малые отверстия в поршне. В начальный момент времени перемещение поршня отсутствует и вся нагрузка воспринимается водой. Если открыть кран, то вместе с отжатием воды, давление в пружине будет расти, а в воде – уменьшаться. Чем меньше диаметр отверстий (пор), тем медленнее будет скорость отжатия (дренирования) воды, чем жестче пружина, тем меньше переместится поршень (или уплотнится грунт).

Предпосылки теории фильтрационной консолидации К. Терцаги сводятся к следующим положениям:

• скелет грунта линейно-деформируемый, деформируется мгновенно после приложения к нему нагрузки и вязкими связями не обладает;

• структурной прочностью грунт не обладает, давление в первый момент полностью передается на воду;

•  грунт полностью водонасыщен, вода и скелет объемно несжимаемы, вся вода в грунте гидравлически непрерывна;

• фильтрация подчиняется закону Дарси.

Реальный грунт состоит из твердого скелета и системы сообщающихся пор, которые частично или полностью заняты водой. При приложении к грунту нагрузки полные напряжения σ распределяются между скелетом грунта и поровой водой (рис. 8.4, б). Поровое давление воды u действует одинаково во всех направлениях, следовательно, действующее только в скелете грунта напряжение, представляет собой разность между полным напряжением и поровым давлением – эффективное напряжение σ’. Вода вытесняется из пор, что ведет к росту разности ( σ – u ), в результате начинаются деформации скелета. Скорость вытеснения воды зависит от проницаемости грунта и условий дренированности.

Бишоп предложил следующие простые гипотезы, положенные им в основу теории эффективных напряжений:

• 

  Рис.  8.4. Модель двухкомпонентной грунтовой среды К. Терцаги

  изменение объема и деформация грунта зависит не от полных напряжений, а от разности между полным напряжением и поровым давлением воды,

• прочность грунта на сдвиг зависит не от полных напряжений, действующих по нормали к рассматриваемой плоскости, а от эффективных напряжений.

Следовательно, жесткость скелета грунта влияет на величину осадки консолидации и сжатие грунта происходит только за счет действия эффективных напряжений, так как поровое давление вызывает напор в грунтовой воде и приводит к ее фильтрации. В начальный момент приложения внешней нагрузки полное давление равно поровому давлению вследствие малой сжимаемости грунтовой воды.

Таким образом, если грунты водонасыщены, то напряжения в них могут быть подразделены на два вида:

• эффективные напряжения (σ’) передающиеся либо непосредственно на скелет грунта от частицы к частице, либо через коллоидно-гидратные пленки, либо через сцементированные контакты между частицами,

• поровые давления (u) действующие в поровой воде.

Эффективное напряжение определяется как разность между полным напряжением в образце грунта и давлением в поровой жидкости. Только эффективное напряжение действует на скелет грунта, вызывая его сжатие, уплотнение и упрочнение, повышает сопротивление грунта срезу.

Поровое давление – давление в поровой жидкости грунта. Гидростатическое и поровое давления составляют в сумме давление в воде, то есть нейтральное давление. Поровое давление действует одинаково по всем направлениям, непосредственно не уплотняет грунт, а создает лишь напор в воде, заполняющей его поры. Гидростатическое давление это давление, которое установится в воде, когда полностью исчезнет избыточное по отношению к нему давление, то есть поровое [75].

Соответственно, напряженное состояние грунта на глубине z характеризуется следующими параметрами:

• вертикальным эффективным напряжением: σ′_zg =  h; где  – удельный вес вышележащих слоев грунта, кН/м³, h – мощность вышележащих слоев грунта на глубине z, м.;

• горизонтальным эффективным напряжением: σ′_xg = σ′_yg=ξ σ′_zg, где ξ – коэффициент бокового расширения грунта;

• поровым давлением – u_z;

• полными вертикальными и горизонтальными напряжениями: σ_zg = σ′_zg + u_z; σ_xg = σ_yg = ξ σ′_zg+u_z.

Кроме этого в грунтоведении используются такие термины как бытовое давление и среднее давление в условиях природного залегания.

Бытовым давлением σ_1g называется вертикальное эффективное напряжение в массиве грунта на данной глубине от веса вышележащих слоев грунта с учетом или без учета взвешивающего действия воды во время опробования.

Средним давлением в условиях природного залегания σ_ср.g называется среднее напряжение в массиве грунта на данной глубине, обусловленное воздействием бытового и бокового давления и вычисляемое по формуле:

σ_ср.g = σ_1g (1+2 ξ) / 3,

где ξ – коэффициент бокового давления покоя.

Следует отметить, что как в зарубежной, так и в российской практике при обработке экспериментальных данных используется термин «давление» (pressure), однако фактически имеется в виду вертикальное напряжение.

В результате уплотнения грунта под воздействием внешних нагрузок и собственного веса грунта происходят деформации, не сопровождающиеся коренным изменением его структуры, называемые осадками (s).

При расчете конечной осадки s, см, используются полные напряжения _zg и поровое давление не учитывается, так как при завершении первичной (фильтрационной) консолидации оно будет практически равно нулю, а эффективные напряжения равны полным σ_zg = σ′_zg. Осадку основания с использованием расчетной схемы в виде линейно деформируемого полупространства, определяют методом послойного суммирования по формуле:

(8.2)

где  – безразмерный коэффициент, равный 0,8; _zp,i – среднее значение вертикального нормального напряжения (далее – вертикальное напряжение) от внешней нагрузки в i^–ом слое грунта по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента, кПа; h_i – толщина i^–го слоя грунта, см, принимаемая не более 0,4 ширины фундамента; E_i – модуль деформации i^–го слоя грунта по ветви первичного нагружения, кПа; _zg,i – среднее значение вертикального напряжения в i^–ом слое грунта по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента, от собственного веса выбранного при отрывке котлована грунта, кПа; E_e,i – модуль деформации i^–го слоя грунта определяемый по ветви вторичного нагружения, кПа; п – число слоев, на которые разбита сжимаемая толща основания.

При расчете осадки оснований фундаментов, возводимых в котлованах глубиной менее 5 м, допускается в формуле 8.2 не учитывать второе слагаемое, которое обусловлено разуплотнением грунта в результате его выемки из котлована и различной сжимаемостью грунтов при давлениях больших или меньших вертикальных напряжений от собственного веса грунта [114].

Нижнюю границу сжимаемой толщи основания Н_с принимают на глубине z, где выполняется условие:

_zр = ks_zg,

где _zр – дополнительное вертикальное напряжение на глубине по вертикали, проходящей через центр подошвы фундамента от нагрузки от сооружения, _zg – вертикальное напряжение от собственного веса грунта, коэффициент равный:

а) k = 0,2 при b  5 м;

б) k = 0,5 при b  20 м;

в) при 5 < b  20 м k определяют интерполяцией.

При этом глубина сжимаемой толщи не должна быть меньше b/2 при b  10 м и (4+0,1b) при b >10 м.

Коэффициент  в формуле 8.2 определяется из выражения:

При отсутствии экспериментальных данных допускается принимать ν равным: 0,30–0,35 – для песков и супесей; 0,35–0,37 – для суглинков; 0,2–0,3 при I_l<0; 0,3–0,38 при 0≤ I_l ≤0,25; 0,38–0,45 при 0,25≤ I_l ≤1,0 – для глин. При этом меньшие значения ν принимают при большей плотности грунта.

При расчете осадки способом послойного суммирования боковые давления принимаются такими, какими они получаются при сжатии грунта в одометре:

При расчете осадок этим способом боковое расширение грунта не учитывается (принимается, что боковые деформации равны нулю), но косвенно подразумевается, что распределение напряжений получено из решения теории упругости для полупространства (или полуплоскости), в котором считалось, что среда имела возможность боковых перемещений [5].

При определении осадки верха сооружений следует учитывать, кроме осадки основания, осадки от уплотнения и самоуплотнения насыпного грунта в основании и теле сооружения, а также от суффозии, усадки, просадки, оттаивания мерзлых грунтов и пр., определяемые по нормам проектирования соответствующих сооружений.

Конечная осадка слабого основания в пределах активной зоны сжатия также определяется методом послойного суммирования для условий одномерной задачи с использованием модуля осадки Е_с по формуле:

,

где n – число слоев; Н_с – мощность слоя; Е_s – модуль осадки грунта слоя, найденный на компрессионной кривой при нагрузке σ, равной вертикальному нормальному напряжению для середины данного слоя от веса насыпи.

Рис. 8.5. Связь осадки, полного и эффективного напряжений и порового давления грунта [5]

Прогноз осадки оснований во времени при строительстве сооружений на глинистых и органических водонасыщенных грунтах (при степени влажности S_r ≥0,85) определяется на основе теории фильтрационной консолидации с использованием модели грунта, схема которой приведена на рис. 8.4. Все решения, позволяющие определять осадку во времени, основаны на гипотезе двухкомпонентной грунтовой среды: минеральная составляющая-вода. В начальный момент приложения нагрузки полное напряжение равно поровому давлению (рис. 8.5), так как в этот момент дренирование невозможно, эффективные напряжения равны нулю, сжатие отсутствует. По мере оттока воды поровое давление рассеивается, а эффективные напряжения увеличиваются [5]. Поэтому, если требуется определить изменение осадки во времени, то необходимо знать эффективные напряжения, присутствующие в грунте до приложения нагрузки от сооружения и после ее приложения, с учетом изменяющихся в процессе консолидации поровых давлений (u) (рис. 8.6). Данное решение зависит от эффективных напряжений, которые невозможно найти, если неизвестно действующее поровое давление.

При расчете деформаций основания с использованием расчетной схемы в виде линейно деформируемого полупространства с условным ограничением глубины сжимаемой толщи Н_с, среднее давление под подошвой фундамента не должно превышать расчетное сопротивление грунта основания R, определяемое по формуле:

, (8.3)

где _с1 и _с2 – коэффициенты условий работы, принимаемые в зависимости от гранулометрического состава песков и числа пластичности глинистых грунтов, а также от соотношения длины и высоты сооружения; k – коэффициент, принимаемый равным единице, если прочностные характеристики грунта ( и с) определены непосредственными испытаниями, и k = 1,1, если они приняты по таблицам нормативов [102]; М_, М_q, М_с – коэффициенты, принимаемые в зависимости от расчетного значения угла внутреннего трения; k_z – коэффициент, принимаемый равным единице при b < 10 м; k_z = z₀/b + 0,2 при b  10 м (здесь z₀ = 8 м); b – ширина подошвы фундамента, м; _II – осредненное расчетное значение удельного веса грунтов, залегающих ниже подошвы фундамента (при наличии подземных вод определяется с учетом взвешивающего действия воды), кН/м³; ’_II – осредненное расчетное значение удельного веса грунтов, залегающих выше подошвы фундамента, кН/м³; с_II – расчетное значение удельного сцепления грунта, залегающего непосредственно под подошвой фундамента, кПа; d₁ – глубина заложения фундаментов, м, d_b – глубина подвала, расстояние от уровня планировки до пола подвала, м.

Рис 8.6. Взаимосвязь напряжений и порового давления (КПа) при консолидации грунта в основании сооружения [136]

Таким образом, расчет несущей способности оснований производится с использованием физических характеристик , прочностных параметров φ и c, с учетом гранулометрического состава песков и числа пластичности глинистых грунтов. Для оснований в условиях стабилизированного состояния и возможности дренирования при нагружении внешней медленно возрастающей нагрузкой, силы сцепления и угол внутреннего трения определяются методом одноплоскостного среза или трехосного сжатия в условиях консолидировано-дренированного сдвига.

В том случае, если на глинистое водонасыщенное основание (при S_r ≥0,85) передаются нагрузки, при которых возникает избыточное поровое давление, то расчетные значения параметров прочности φ и c, определяются из испытаний образцов глинистых грунтов в условиях трехосного консолидировано-недренированного сдвига с измерением порового давления, а прочность грунта оценивается из выражения: τ=(σ−u) tg φ +c. Из выражения следует, что учет порового давления приводит к уменьшению прочности грунта.

При быстром возведении сооружения или сейсмических нагрузках и отсутствии в основании дренирующих слоев грунта избыточное поровое давление не успевает рассеиваться и равно полному напряжению u = σ и прочность грунта определяется из выражения τ  c. Параметр c определяется из результатов трехосных испытаний в условиях неконсолидированно-недренированного сдвига c =c_u.

Чтобы выполнить основные требования по расчету устойчивости сооружений и ограничению деформаций основания следует рассматривать все возможные предельные состояния. В основании различных сооружений грунт испытывает разные условия силового нагружения (рис. 8.7) от условий простого сдвига (DSS) до условий трехосного сжатия (TS), трехосного расширения (ТЕ) и компрессионного сжатия (СС).

Для гравитационных платформ и других гидротехнических сооружений, которые подвержены статическим и динамическим нагрузкам, образцы грунта должны испытываться при действии циклических сдвигающих напряжений τ_су относительно уровня напряжений от веса грунта и веса конструкции (τ₀ + Δτ_а). Поэтому рекомендуется проводить испытания образцов грунта под действием напряжений отвечающих реально действующим в основании конкретных сооружений [5].