11. Дробный факторный эксперимент. Выбор полуреплики и четвертьреплики.

При большом числе факторов (k>3) проведение полного факторного эксперимента связано с большим числом, экспериментов, значительно превосходящим число коэффициентов линейной модели. Если при получении модели можно ограничиться, линейным приближением, т. е. получить адекватную модель в виде полинома y=b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ +...+ b_kx_k, то число экспериментов можно резко сократить в результате использования дробного факторного эксперимента. Так, например, в полном факторном эксперименте типа 2² при линейном приближении коэффициент регрессии b₁₂ можно принять равным нулю, а столбец x₁x₂ матрицы (табл. 16.4) использовать для третьего фактора x₃.

Таблица 16.4

Матрица планирования

 

Номер экспер.	x0	x1	x2	x3 (x1x2)	y
1	+	+	+	+	y1
2	+	-	+	-	y2
3	+	+	-	-	y3
4	+	-	-	+	y4

 

В этом случае линейная модель будет определяться уравнением y=b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₃x₃. Для определения коэффициентов этого уравнения достаточно провести четыре эксперимента вместо восьми в пол­ном факторном эксперименте типа 2³. План эксперимента, преду­сматривающий реализацию половины экспериментов полного факторного эксперимента, называют полурепликой. При увеличении числа факторов (k>3) возможно применение реплик большей дробности. Дробной репликой называют план эксперимента, являющийся ча­стью плана полного факторного эксперимента. Дробные реплики обозначают зависимостю 2^k-p, где p - число линейных эффектов, приравненных к эффектам взаимодействия. При p = 1 получают полуреплику; при p = 2 получают ¼ - реплику; при p = 3 получают ⅛ - реплику и т. д. по степеням двойки.

12. Дробный факторный эксперимент. Достоинства и недостатки. Число степеней свободы, насыщенный план.

Идея дробного факторного эксперимента состоит в том, что один или несколько факторов изменяют в процессе эксперимента так, как изменялось бы произведение нескольких оставшихся факторов в полном факторном эксперименте, т.е. 1 или несколько факторов равны произведению нескольких факторов.

2^к-р – тип дробно-факторного эксперимента, р – число факторов, приравненных к произведению других факторов.

Реплики, в которых число опытов равно числу коэффициентов, называются насыщенными. Выбор дробной реплики зависит от конкретной задачи. Для получения линейной модели рекомендуют выбирать дробные реплики с возможно большей разрешающей способностью, т. е. реплики, у которых линейные эффекты смешаны с эффектами взаимодействия близкими к нулю. При выборе дробной реплики важно учитывать насыщенность плана, т. е. соотношение между числом опытов и числом коэффициентов, определяемых по результатам этих экспериментов. Дробная реплика, полученная заменой всех эффектов взаимодействия новыми факторами, называется насыщенной. Применение насыщенных планов требует минимального числа экспериментов. Число экспериментов в матрице насыщенной дробной реплики равно числу коэффициентов линейной модели. Гипотезу адекватности модели в этом случае проверить невозможно, так как число степеней свободы равно нулю.

«+»ДФЭ позволяет минимизировать число опытов, но при этом

«-»оценки коэффициентов получаются смешанными.

Число опытов в дробной реплике должно удовлетворять неравенству , где — число факторов, для получения несмешанных оценок линейных эффектов.Если , то есть число опытов равно числу определяемых коэффициентов линейной модели, дробная реплика представляет собой насыщенный линейный ортогональный план.Поскольку число опытов в насыщенных планах равно числу определяемых коэффициентов, число степеней свободы дисперсии адекватности . Для поверки адекватности линейной модели, полученной по насыщенному плану, необходим дополнительный эксперимент.

Таким образом, оптимальные двухуровневые планы и имеют следующие преимущества:

·  планы ортогональны, и поэтому все вычисления просты, все коэффициенты определяются независимо друг от друга;

·  каждый коэффициент определяется по результатам всех опытов;

·  для данного числа опытов эти планы имеют минимальный определитель ковариационной матрицы ; в связи с этим все коэффициенты определяются с одинаковой и минимальной дисперсией, то есть планы обладают свойством Д-оптимальности;

·  линейные планы и обладают свойством ротатабельности.