2.1.4. Особые точки каскада

Для каскада (отображения) неподвижная точка должна удовлетворять соотношению . Её устойчивость исследуется аналогично случаю обыкновенных дифференциальных уравнений. Возьмем , тогда

,

и задача сводится к исследованию линейного отображения с постоянной матрицей

.

Определение 2.5. Особая точка отображения называется гиперболической, если у матрицы нет собственных значений таких, что .

Для гиперболических точек отображения также существует теорема Гробмана–Хартмана.

Теорема Гробмана–Хартмана. Пусть отображение имеет непрерывную первую производную. Тогда в некоторой окрестности гиперболической точки существует гомеоморфизм , взаимно однозначно отображающий траектории исходной системы на траектории линеаризованной системы, т. е. такой, что для любого .

Таким образом, и для гиперболических точек каскада (отображения) устойчивость по отношению к бесконечно малым и малым конечным возмущениям определяется свойствами собственных значений матрицы .

Пример. Рассмотрим двумерное дискретное отображение (кошка Арнольда), заданное системой двух разностных уравнений:

.

Собственные значения отображения , удовлетворяющие характеристическому уравнению

,

равны: , .

Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные, их произведение равно единице. Они (корни) не лежат на мнимой оси, поэтому неподвижная точка является гиперболической. В окрестности неподвижной точки , которая является решением нелинейного уравнения , «кошка Арнольда» ведет себя как растяжение с коэффициентом вдоль собственного вектора и сжатие с коэффициентом вдоль собственного вектора .

Отображение «кошка Арнольда» представляет собой суперпозицию двух операций: растяжения и перекладывания фрагментов. Растяжение под действием матрицы  – линейное преобразование, которое переводит прямые в прямые. Вторая часть преобразования (  – взятие дробной части) соответствует разрезанию параллелограмма, полученного при сжатии – растяжении исходного единичного квадрата на треугольники с последующим перекладыванием их в исходный единичный квадрат.

Итерации отображения «кошки Арнольда», определяемые матрицей , равны

,

где  ‑ матрица преобразования к диагональному виду.

2.2. Периодические решения

Определение 2.6. Решение автономной системы дифференциальных уравнений (1.1) называется периодическим решением, если существует постоянная такая? что для всех . Минимальное значение называется периодом решения , а само решение  – ‑периодическим.

Фазовая кривая (траектория) периодического решения системы (1.1) является замкнутой и называется циклом. Обратно, любой цикл (замкнутая фазовая кривая) системы (1.1) определяет периодическое решение системы с некоторым периодом.

2.2.1. Переход к системе с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную неавтономную систему обыкновенных дифференциальных уравнений

(2.10)

с ‑периодической матрицей и  –   ‑мерным вектором состояния.

Существует замена переменных, превращающая систему с периодическими коэффициентами в систему с постоянными коэффициентами. Такая замена переменных основана на понятии фундаментальной матрицы системы (2.10). Если матрица невырождена, то среди всевозможных решений, отвечающих различным начальным условиям , можно выделить ровно линейно независимых решений . Формируя из них столбцы некоторой матрицы , получим, что:

‑ матрица удовлетворяет уравнению ;

‑ любые линейно независимых решений образуют базис, поэтому любое решение можно представить в виде комбинации базисных решений

. (2.11)

Вектор можно найти из начальных условий

.

Фундаментальная матрица позволяет выразить решение через начальные данные . Решение системы (2.10) с учетом (2.11) представимо в виде

.

Матрица  – также фундаментальная матрица. Она отвечает начальным данным (  – единичная матрица) и носит название нормированной фундаментальной матрицы. Фундаментальных матриц много, нормированная фундаментальная матрица одна. Очевидно, что , поэтому для рассматриваемой линейной системы матрица задает отображение . Для систем с постоянной матрицей имеем . Определитель фундаментальной матрицы называется определителем Вронского. Поскольку фундаментальная матрица невырождена ( ), то для определителя Вронского справедливо уравнение , где  – след матрицы .

Вернемся к системам с периодическими коэффициентами. Поскольку фундаментальная матрица удовлетворяет уравнению , то

,

т. е. будет другой фундаментальной матрицей. Любое решение можно выразить как комбинацию фундаментальных решений

,

где  – постоянная матрица с собственными значениями . Преобразованием подобия можно привести матрицу к диагональному виду . Представим = , откуда следует . С помощью величин , называемых характеристическими показателями, можно «прологарифмировать» матрицу (жорданову форму матрицы ). Здесь . Используя обратное преобразование, получим . Характеристические показатели являются собственными значениями матрицы ( ). Обозначим . Тогда

.

Из последнего равенства имеем

. (2.12)

Таким образом, фундаментальную матрицу можно выразить как произведение периодической матрицы на экспоненту постоянной матрицы.

При замене переменных

или (2.13)

система с периодическими коэффициентами превратится в систему с постоянными коэффициентами

. (2.14)

Теорема 2.2. (теорема Флоке). Каждое фундаментальное решение линейной системы (2.10) с периодическими вещественными коэффициентами представимо в виде (2.12), где – некоторая ‑периодическая комплексная матрица, а – некоторая постоянная комплексная матрица, причем существует невырожденная действительная матрица такая, что .

Матрица , называемая матрицей монодромии, единственным образом определяется периодической матрицей .  – собственные значения матрицы , которые называются мультипликаторами линейной системы (2.10) или мультипликаторами цикла.

Собственные значения матрицы называются характеристическим показателями или показателями Флоке. Их вещественные части также определяются однозначно. Очевидно, что , а , если  – единичная матрица. Неособая матрица не обязана иметь действительный логарифм, т.е. не всегда существует действительная матрица такая, что . Примером является матрица , имеющая простой отрицательный мультипликатор. Однако матрица уже всегда имеет действительный логарифм. Поэтому каждое действительное фундаментальное решение линейной системы (2.10) с ‑периодическими коэффициентами представимо в виде , где  – некоторая ‑периодическая матрица, а  – некоторая действительная матрица такая, что .

На практике найти замену вида (2.13), преобразующую систему (2.10) с периодическими коэффициентами к системе (2.14) с постоянными коэффициентами, удается очень редко, и анализ (например, нахождение показателей Флоке или характеристических показателей) проводится численно.