3.6. Автокорреляционная функция и спектральная плотность ..118

3.6.1. Автокорреляционная функция ………………………118

3.6.2. Спектральная плотность ……………………………..120

2.6.3. Связь автокорреляционной функции и спектра ……121

3.7. Фрактальные структуры и размерность аттрактора ………123

3.7.1. Фракталы ……………………………………………...123

3.7.2. Геометрические размерности ………………………..128

3.7.3. Вероятностные размерности ………………………...139

3.7.4. Динамические размерности …………………………144

3.7.5. Странные аттракторы ………………………………..145

3.8. Определение хаотического отображения …………….……154

4. Вычислительные методы нелинейной динамики ……………….157

4.1. Методы решения дифференциальных уравнений ………...157

4.1.1. Решение задачи Коши для автономной системы ….157

4.1.2. Некорректность численных методов решения

систем дифференциальных уравнений ………………158

4.2. Построение отображения Пуанкаре ………………………..160

4.3. Спектр характеристических показателей Ляпунова ………162

4.3.1. Вычисление спектра по уравнениям

динамической системы ……………………………………..163

4.3.2. Вычисление спектра по временному ряду ………….167

4.4. Численное исследование мер ……………………………….173

4.5. Расчет размерности аттрактора …………………………….174

4.5.1. Определение емкости ………………………………..174

4.5.2. Вычисление вероятностных размерностей …………176

4.6. Корреляционный интеграл ………………………………….177

4.7. Оценка энтропии …………………………………………….179

5. Управление хаотической динамикой …………………………….185

5.1. Задача управления …………………………………………...185

5.1.1. Постановка задачи ……………………………………185

5.1.2. Методы управления ………………………………….188

5.2. Задача идентификации ………………………………………195

5.2.1. Постановка задачи ……………………………………196

5.2.2. Реконструкция аттрактора. Теорема Такенса ………197

5.2.3. Выбор параметров реконструкции ………………….200

5.3. Задача прогноза ……………………………………………...204

5.3.1. Предсказание временных рядов …………………….204

5.3.2. Локальные методы …………………………………...205

5.3.3. Глобальные методы ………………………………….207

Библиографический список ………………………………………….210

Введение

Учебное пособие разработано в рамках создания учебно-методического комплекса дисциплины «Хаос и нелинейная динамика», для подготовки магистров по направлению «Системный анализ и управление» в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом.

Учебное пособие направлено на достижение следующих целей, стоящих перед данной дисциплиной: освоение основных методов нелинейной динамики; развитие способностей к анализу и синтезу нелинейных систем с регулярной и нерегулярной динамикой; приобретение навыков использования основных свойств систем с хаотической динамикой для обработки информации в управлении, сжатии цифровых сигналов и криптографии.

Изучение материала учебного пособия ставит перед собой следующие задачи:

– освоение основных принципов моделирования нелинейных систем с регулярной и хаотичной динамикой;

– изучение конструктивных методов анализа устойчивости особых точек, циклов и аттракторов нелинейных систем;

– ознакомление с адекватными критериями возникновения хаотических движений в нелинейных системах;

– освоение методов синтеза регуляторов для решения задач управления нелинейными системами с нерегулярной динамикой;

– приобретение знаний по методам сжатия и кодирования информации с использованием нелинейных хаотических отображений.

Учебное пособие по дисциплине «Хаос и нелинейная динамика» решает воспитательные, развивающие и мировоззренческие задачи. В процессе изучения дисциплины формируются общекультурные компетенции:

– способность к самостоятельному обучению новым методам исследования, к изменению научного и научно-производственного профиля своей профессиональной деятельности;

– способность применять в практической деятельности новые знания и умения, в том числе в новых областях знаний, непосредственно не связанных со сферой деятельности;

– способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности, в том числе защиты государственной тайны,

а также профессиональные компетенции:

– способность вскрыть математическую, естественнонаучную и техническую сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, провести их качественно-количественный анализ;

– способность анализировать, синтезировать и критически резюмировать информацию;

– способность оформить, представить и доложить результаты выполненной работы;

– способность разрабатывать практические рекомендации по использованию результатов научных исследований;

– способность применять перспективные методы системного анализа и принимать решения для исследования функциональных задач на основе мировых тенденций развития системного анализа, управления и информационных технологий;

– способность выбирать методы и разрабатывать алгоритмы решения задач управления сложными многомерными объектами управления.

Учебное пособие предназначено для реализации рабочей программы учебной дисциплины «Хаос и нелинейная динамика», разработанной в соответствии с федеральным государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования по направлению «Системный анализ и управление» (магистры, профессиональный цикл, вариативная часть). Разделы учебного пособия соответствуют дидактическим единицам учебной программы.

Учебная дисциплина «Хаос и нелинейная динамика» изучается в 9 и 10 семестрах и относится к вариативной части профессионального цикла. Для освоения данной учебной дисциплины требуется изучение дисциплин: «Математика», «Вычислительная математика», «Теория управления», «Функциональный анализ». Данная учебная дисциплина завершает подготовку в магистратуре и необходима для адаптации в первичной должности и дальнейшего карьерного роста специалистов.

В последние годы нелинейная динамика вызывает большой интерес у широкого круга специалистов, работающих в самых разнообразных областях информационных технологий. Модели нелинейной динамики, в первую очередь, привлекают внимание разработчиков систем сжатия цифровых изображений и криптосистем на основе блочных шифров. Однако в учебной литературе эти сведения либо кратко упоминаются, либо отсутствуют вообще.

В учебном пособии рассматриваются методы исследования регулярных и хаотичных режимов нелинейных динамических систем и их взаимосвязь с фрактальными методами сжатия цифровой информации и шифрованием сообщений на основе хаотичных отображений с перемешивающими и рассеивающими свойствами.

Основное содержание первых четырех разделов направлено на знакомство студента с моделями и методами нелинейной динамики. Представлены модели непрерывных и дискретных динамических систем в виде тройки, состоящей из расширенного фазового пространства и однопараметрической группы (полугруппы) его преобразований. Приводятся методы исследования регулярных движений (особых точек, циклов, траекторий со счетным числом точек) на основе теоремы Грофмана–Хатмана о топологической эквивалентности непрерывного дифференцируемого векторного поля с гиперболической особой точкой.

Далее рассматриваются методы исследования устойчивости по Ляпунову и Пуассону, структурной устойчивости. Проанализированы признаки и критерии возникновения режима детерминированного хаоса в нелинейных системах (характеристические показатели Ляпунова, энтропия, инвариантная мера и свойства эргодичности и перемешивания), которые используются в новых технологиях обработки информации. Приведены численные методы расчета указанных характеристик.