3.3.2. Инвариантная мера. Оператор Перрона‑Фробениуса

Рассмотрим преобразование плотности вероятности при замене переменных в случае, когда фазовое пространство одномерно, например, представляет собой прямую линию или отрезок. Пусть  – случайная величина с плотностью распределения . Построим новую случайную величину и найдем ее плотность вероятности . Выберем некоторое значение и маленький отрезок . Мера (вероятность) этого отрезка будет равна . Найдем все точки такие, что , их может быть несколько, поскольку монотонность функции не предполагается. В отрезок попадут точки отрезков , построенных около точек . Мера каждого отрезка равна . Мера отрезка должна быть равна сумме мер всех , т. е.

.

Так как , то из последнего соотношения получаем

.

В случае пространств более высокой размерности и при замене переменных соотношение остается похожим, но вместо формулы преобразования длин используется формула преобразования бесконечно малых объемов, т. е. вместо производной используется якобиан преобразования :

. (3.17)

Используя свойства ‑функции, формулу (3.17) можно записать в виде свертки

. (3.18)

Соотношение (3.18) получается при замене переменной на переменную в интеграле, тогда , и появляется сумма по всем корням уравнения . Согласно свойствам ‑функции получаем

.

Рассмотрим дискретную динамическую систему

. (3.19)

Пусть на ‑м шаге в фазовом пространстве определена плотность вероятности . Будем рассматривать каскад как замену переменных, переход от переменной к переменной , тогда для преобразования плотности вероятности, по формуле (3.18) получим

.

Определение 3.6. Оператор , определяемый уравнением

,

называется оператором Перрона ‑ Фробениуса для отображения .

Это линейный несамосопряженный оператор со сложной структурой спектра. Подобно тому, как для некоторой начальной точки динамическая система порождает последовательность точек (траекторию), она порождает, и последовательность вероятностных мер. В этой связи важными оказываются два понятия. Это аналоги неподвижной точки и сходимости к асимптотически устойчивой неподвижной точке – инвариантная мера и сходимость мер.

Определение 3.7. Плотность вероятности называется инвариантной, если она не меняется под действием оператора Перрона–Фробениуса .

Инвариантная мера должна удовлетворять уравнению Перрона–Фробениуса

.

Однако в случае сингулярной меры плотность вероятности не существует, поэтому чаще используется несколько иное определение инвариантной меры: мера множества должна быть равна мере его полного прообраза.

Определение 3.8. Мера называется инвариантной мерой динамической системы (3.19), если для любого измеримого множества выполнено

.

Если отображение обратимо, то каждая точка имеет только по одному образу и прообразу, и их можно менять местами. В этом случае для инвариантной меры выполняется:

.

Пусть задана непрерывная динамическая система , определенная дифференциальным уравнением . Такая динамическая система для каждого порождает каскад , поэтому определение инвариантной меры для каскада переносится на потоки без изменений. Рассматривая непрерывную плотность вероятности, запишем аналог уравнения Перрона–Фробениуса для потока . Из уравнения (3.18) имеем:

.

Продифференцируем это соотношение по переменной и положим . Учитывая, что , и , получим

.

Здесь линейный оператор , определяемый по формуле , а . Интегрируя по частям и “перебросив” дифференцирование с ‑функции на функцию , получим

.

Окончательно имеем

. (3.20)

Уравнение (3.20) называется уравнением непрерывности. Такое же уравнение описывает поток сжимаемой жидкости, движущийся со скоростью , который “увлекает распределение вероятности за собой”, причем играет роль плотности этой жидкости.

Инвариантная плотность вероятности не зависит от времени, т. е. она должна удовлетворять уравнению .

Пример. Рассмотрим дискретное отображение (3.19)

,

где  – логистическое квадратичное отображение, переводящее точки в точки . Зададим на оси интервал начальных данных, распределенных с плотностью . Отображение переводит интервал в интервал на оси , на котором значения распределены с плотностью . Алгоритм вычисления оператора Перрона–Фробениуса представлен на рис. 3.3.

Рис. 3.3. Вычисление оператора Перрона–Фробениуса

Найдем оператор Перрона–Фробениуса, переводящий плотность в плотность . Так как отрезок состоит из точек, являющихся образами точек из отрезка при рассматриваемом отображении, то имеем

.

Пусть  – интервал оси с переменным верхним пределом. Оператор Перрона–Фробениуса можно представить в виде

.

Как видно, отрезок  – несвязное множество, представляющее собой теоретико‑множественную сумму (объединение) двух подынтервалов , которые при равны

, .

Уравнение Перрона–Фробениуса в этом случае имеет вид

.

Воспользовавшись формулой дифференцирования интеграла по переменному верхнему пределу

,

получим

.

Определим, как изменяется исходное равномерное распределение под действием найденного оператора Перрона–Фробениуса. Подставляя распределение в последнее соотношение, получаем

.

Эволюция исходного распределения под действием оператора Перрона–Фробениуса для логистического квадратичного отображения приведена на рис. 3.4 (а – исходное равномерное распределение , б – эволюция исходного распределения .)

а) б)

Рис.3.4. Преобразование исходного распределения

под действием оператора Перрона–Фробениуса

Инвариантная плотность – это доля всех итераций, попадающих в точку :

.

Она показывает, с какой плотностью итерации отображения размазаны по оси .