2.3.2. Предельные множества

Пусть – решение системы (1.1), начинающееся в точке , и ему соответствует некоторая траектория в фазовом пространстве.

Определение 2.11. Точка называется ‑предельной точкой для , если существует последовательность моментов времени такая, что .

Определение 2.12. Множество всех ‑предельных точек для траектории, начинающейся в точке , называется ‑предельным множеством для и обозначается .

Объединение всех множеств для всех обозначается . Аналогично для отрицательных моментов времени можно определить  предельные точки множества, , для которых .

Множество состоит из полных траекторий, т. е. если , то . Следовательно, множество является инвариантным множеством.

Приведем некоторые свойства предельных множеств.

1. Предельное множество замкнуто.

2. Предельное множество состоит из целых траекторий. Это свойство формулируется следующим образом: предельное множество является инвариантным множеством по отношению к потоку, определенному системой (1.1).

3. Для того, чтобы предельное множество было пустым, необходимо и достаточно, чтобы траектория при уходила в бесконечность.

4. Для того, чтобы предельное множество состояло из единственной точки, необходимо и достаточно, чтобы траектория входила в эту точку при .

Точка покоя является своей единственной предельной точкой; замкнутая траектория также является своим собственным предельным множеством. Предельные точки незамкнутых траекторий более интересны, так как позволяют определить характер поведения траекторий при больших моментах времени.

2.3.3. Притягивающие множества

В случае, когда траектория неустойчива, но не уходит из некоторой ограниченной области фазового пространства, естественно предположить, что движению (траектории) присуща какая-то устойчивость.

Множество положительно инвариантно, если при . Множество просто инвариантно, если . Окрестностью множества называется открытое множество , включающее замыкание множества . Расстояние между точкой и множеством определяется как . ‑окрестностью множества называется окрестность, все точки которой удалены от множества на расстояние не более, чем .

Определение 2.13. Компактное инвариантное относительно потока множество называется притягивающим множеством, если для него существует окрестность такая, что почти для всех , при (т. е. при ).

Наибольшее множество , удовлетворяющее этому определению (наибольшее притягивающее множество), называется областью притяжения множества .

Реже используется термин «множество, устойчивое по Ляпунову». Множество называется устойчивым по Ляпунову, если для любого найдется , такое что для всякого , удовлетворяющего , и любого расстояние . Если к тому же расстояние при , то множество называют асимптотически устойчивым. Таким образом, притягивающее множество   – это множество, асимптотически устойчивое по Ляпунову.

Казалось бы, этого определения достаточно для описания асимптотического поведения динамических систем. Однако существует ряд примеров, показывающих, что притягивающее множество может, несмотря на инвариантность, содержать внутри себя «много лишнего». Например, для системы

отрезок является притягивающим множеством. Однако практически все траектории при будут стремиться к одной из двух устойчивых неподвижных точек .

Поэтому наряду с притягивающим множеством используется также понятие аттрактора – меньшего множества, к которому стремятся «почти все» траектории динамической системы.