2.2.4. Периодические решения (циклы) каскадов
Для каскада
(отображения)
исследование его периодического решения
сводится к исследованию неподвижной
точки линейного отображения с постоянной
матрицей
.
Достаточно перейти от к ‑ой итерации функции :
.
Тогда периодической
траектории, состоящей из последовательности
точек
,
будет соответствовать
неподвижных точек отображения
.
Аналогом матрицы
для неподвижной точки будет произведение
матриц
.
Конечное множество итераций, каждое из которых переходит в следующее под действием отображения , и является циклом длиной .
2.3. Инвариантные, предельные и притягивающие множества
Инвариантные, предельные и притягивающие множества играют существенную роль при изучении устойчивости особых точек и циклов нелинейных динамических систем.
2.3.1. Инвариантные множества (многообразия)
Пусть задано
множество
фазового пространства
.
Определение 2.7. Функцией от множества называется множество образов всех точек из множества .
Функция от множества
обозначается как
.
Определение 2.8.
Множество
фазового пространства
называется инвариантным по отношению
к фазовому потоку
множеством или просто инвариантным
множеством, если для всех допустимых
имеет место
.
Т. е. множество и его образ при отображении совпадают.
Определение 2.9.
Многообразием называется множество
евклидова пространства
,
имеющее в каждой своей точке единственную
касательную гиперплоскость.
В этом случае говорят, что множество гладко вложено в . Если множество гладко вложено в фазовое пространство системы дифференциальных уравнений, то говорят, что является подмногообразием фазового пространства.
Определение 2.10. Инвариантное многообразие векторного поля и соответствующей системы дифференциальных уравнений – это такое подмногообразие фазового пространства, которое в каждой своей точке касается векторного поля.
Рассмотрим линейный
оператор
.
Пространство
распадается на прямую сумму трех
подпространств:
.
Все три подпространства
в правой части равенства инвариантны
относительно оператора
.
Спектр ограничения оператора
на подпространство
лежит в открытой левой полуплоскости.
Спектр ограничения оператора
на
– в
правой полуплоскости. Спектр ограничения
оператора
на
– на
мнимой оси. Для оператора
,
являющегося оператором линеаризации
векторного поля
уравнения (1.1) в гиперболической особой
точке, имеем
.
Схематично инвариантные многообразия
линейной и нелинейной системы представлены
на рис. 2.6.
Теорема 2.3.
(теорема Адамара–Перрона).
Пусть
есть
–
гладкое
векторное поле с гиперболической особой
точкой в нуле и линейной частью
в нуле,
,
– подпространства,
соответствующие оператору
.
Тогда система дифференциальных уравнений
имеет два
– гладких
инвариантных относительно
многообразия
и
,
проходящих через
и касающихся в нуле плоскости
и
,
соответственно. Решения с начальными
условиями на многообразии
(
)
экспоненциально стремятся к нулю при
(
).
Многообразие
называется устойчивым, а
– неустойчивым
многообразием особой точки
.
Рис. 2.6. Инвариантные многообразия
линейной (а) и нелинейной (б) системы
Теорема 2.4.
(теорема о центральном многообразии).
Если в условиях предыдущей теоремы
оператор
имеет собственные значения также и на
мнимой оси, т. е.
,
то система дифференциальных уравнений
(1.1) имеет третье
– гладкое
инвариантное многообразие
,
проходящее через
и касающееся в нуле подпространства
.
Многообразие
называется центральным многообразием,
а подпространство
– подпространством
гиперболических переменных. Поведение
фазовых кривых на многообразии
определяется нелинейными членами.
Пример.
Инвариантные
множества каскада (линейного отображения).
Для линейных дискретных систем
отображение
выписывается в явном виде
.
Инвариантными множествами будут линейные
оболочки (подпространства) собственных
векторов матрицы
,
среди которых выделяются три:
(устойчивое) подпространство собственных
векторов, отвечающих собственным числам
;
(неустойчивое) – подпространство
собственных векторов, отвечающих
собственным числам
;
(центральное) – подпространство
собственных векторов, отвечающих
собственным числам
.
Эти подпространства используются при линеаризации дискретных систем (1.9) в окрестности неподвижных точек.