2.3.5. Поглощающее множество

Во многих практических случаях аттрактор найти не удается, но важно знать, существует ли он. Для этого используется понятие поглощающего множества, которое построить гораздо проще, чем аттрактор. Допустим, что удалось найти множество фазового пространства, в которое траектории входят, а обратно уже не выходят, остаются в нем навсегда. Если множество компактно (или в случае конечномерного фазового пространства просто ограничено), то в нем все траектории должны стремиться к некоторому предельному множеству, которое можно обозначить . Существует теорема, утверждающая, что  – притягивающее множество.

Пусть задано множество (возможно, что ). Положительно инвариантное множество (т. е. при ) называется поглощающим в , если любая траектория, начинающаяся в точке , в течение конечного времени входит в множество . Если множество компактно, то существует множество , которое будет притягивающим множеством, т. е. для расстояние при .

Определение 2.16. Компактное инвариантное множество называется поглощающим множеством, если существует его окрестность такая, что все траектории, начинающиеся в , за конечное время входят в и остаются там навсегда.

Система, обладающая поглощающим множеством , имеет и аттрактор . В отличие от аттрактора и притягивающего множества, поглощающее множество неединственное. Можно построить семейство вложенных друг в друга поглощающих множеств. Более того, поглощающее множество можно построить наиболее удобным для доказательства его свойств методом. Чаще всего его строят как сферу или эллипсоид в фазовом пространстве и доказывают, что расстояние от точки траектории до центра сферы с течением времени уменьшаться.

Таким образом, доказательство существования аттрактора сводится к доказательству существования поглощающего множества.

Пример. Рассмотрим систему Лоренца

.

Представим как , а и заменим на и , тогда уравнения можно переписать в виде

.

Умножим первое уравнение на , второе – на , третье – на и сложим. В результате получим

.

Предполагая, что , представим . Первый член сохраним, а второй сложим с :

.

Здесь . Обозначим ,

, тогда

.

или

.

Интегрируя это неравенство от 0 до , получим

.

Если в качестве поглощающего множества выбрать шар радиуса , то траектория войдет в него за время, не превышающее

,

после чего . Следовательно, данный шар является поглощающим множеством для системы Лоренца, которая должна иметь внутри него притягивающее множество и аттрактор.

2.4. Устойчивость

Понятие устойчивости тесно связано с асимптотическим поведением системы, с существованием предельного и притягивающего множества, аттрактора.

2.4.1. Понятие устойчивости

Объектами научного исследования, как правило, выступают явления, которые на малые внешние воздействия отвечают малыми изменениями состояний. Это свойство и называется устойчивостью. Устойчивостью должны обладать математические модели, описывающие изучаемые явления, в том числе, и динамические системы.

У динамической системы два основных компонента – фазовое пространство и его преобразование (поток), и оба они могут подвергаться воздействию шума. Шум может изменять начальные данные или в процессе эволюции «сталкивать» точку, определяющую текущее состояние системы, с одной траектории на другую достаточно близкую траекторию. В результате мы имеем дело не с одной траекторией, а с пучком траекторий. Для описания движения системы важно знать поведение не только отдельно взятой траектории, а всего пучка.

Поток может зависеть от каких-либо параметров. Шум может влиять на эти параметры, меняя само отображение. Какие-то изменения параметров несущественны и приводят лишь к количественным изменениям в поведении системы. Другие вызывают качественные изменения траекторий, вплоть до изменения их топологических свойств.

Под устойчивостью можно понимать воспроизводимость того или иного свойства системы при наличии воздействий на систему.

Воспроизводимость отдельной траектории. Ей соответствует устойчивость по Ляпунову – малые отклонения начальных данных ведут к малым искажениям траектории. Это одно из наиболее популярных определений устойчивости, однако, оно не выполняется для систем с хаотическим поведением. С понятием устойчивости по Ляпунову тесно связано понятие ‑предельного множества.

Воспроизводимость асимптотического поведения ансамбля траекторий. Все траектории, начинающиеся в некоторой области фазового пространства, притягиваются к одному и тому же инвариантному множеству. При этом устойчивость каждой отдельной траектории не предполагается. Устойчивость ансамбля траекторий определяется устойчивостью инвариантного множества по Ляпунову, которая тесно связана с понятием аттрактора.

Воспроизводимость повторного появления траектории в сколь угодно малой окрестности некоторой ее точки. Этот тип устойчивости – своеобразное обобщение свойства периодичности. Этому признаку отвечает так называемая устойчивость по Пуассону. С ней тесно связано понятие неблуждающего множества динамической системы, а также свойство эргодичности и понятие инвариантной меры.

Воспроизводимость топологической структуры траекторий динамической системы при возмущении отображения (сохранение количества и взаимного расположения инвариантных и предельных множеств, направления движения по траектории и т.п.). Воспроизводимости топологической структуры соответствует понятие структурной устойчивости или «грубости» динамической системы.

Как связаны эти четыре понятия? Из устойчивости траекторий по Ляпунову обычно следует устойчивость инвариантного множества, откуда в свою очередь следует устойчивость по Пуассону. Структурная устойчивость стоит особняком.