2. Регулярная динамика
Решение автономной
системы обыкновенных дифференциальных
уравнений может быть только одного из
трех типов: постоянное
;
периодическое
,
где число
,
а
при
;
непериодическое
при
.
2.1. Особые точки
2.1.1. Основные определения
Особая точка
(неподвижная точка, стационарная точка,
точка покоя, положение равновесия)
системы дифференциальных уравнений
(1.1) – это
особая точка соответствующего векторного
поля
.
Определение 2.1. Особой точкой векторного поля называется точка фазового пространства, в которой вектор поля обращается в нуль.
Пусть
– особая
точка дифференцируемого векторного
поля
,
определяющего правую часть автономной
системы (1.1), а
– производная
отображения
.
Система линейных дифференциальных
уравнений
(2.1)
называется
линеаризацией системы (1.1) в особой точке
,
поле
– линейной
частью поля
в точке
,
оператор
– оператором
линеаризации. Матрица оператора
– матрица
Якоби, вычисленная в точке
;
.
Определение 2.2. Особая точка векторного поля называется невырожденной, если оператор линейной части поля в этой точке невырожден.
Оператор линейной
части поля невырожден, если соответствующая
ему матрица Якоби невырождена, т. е.,
например, ее определитель не равен нулю
.
Определение 2.3. Особая точка системы дифференциальных уравнений (1.1) называется гиперболической, если ни одно собственное значение оператора (матрицы) линейной части поля в этой точке не лежит на мнимой оси.
Определение 2.4. Две системы дифференциальных уравнений топологически эквивалентны в окрестности особых точек, если существует гомеоморфизм (взаимно однозначное и взаимно непрерывное отображение), который переводит особую точку первой системы и траектории, лежащие в некоторой ее окрестности, в особую точку и траектории второй системы с сохранением ориентации траекторий.
Теорема 2.1. (теорема Гробмана–Хартмана). Непрерывно дифференцируемое векторное поле с гиперболической особой точкой в некоторой окрестности этой точки топологически эквивалентно своей линейной части.
Из теоремы 2.1. следует, что качественное поведение решений автономной системы дифференциальных уравнений (1.1) в окрестности гиперболической особой точки полностью определяется поведением решений системы линейных уравнений (2.1) с постоянным оператором (матрицей) линейной части поля в этой точке.
2.1.2. Классификация особых точек линейных
векторных полей
Система линейных
дифференциальных уравнений, определяемая
линейной частью векторного поля, имеет
в окрестности особой точки вид (2.1). Тип
особой точки и характер поведения
решений системы (2.1) в окрестности особой
точки определяются собственными
значениями линейного оператора
.
В случае двумерного
фазового пространства невырожденная
особая точка может быть одного из
следующих четырех типов: седло, узел,
фокус, центр. Собственные значения
и
линейного оператора
определяются формулой
,
где
– след
матрицы
,
– определитель
матрицы
.
Области, занимаемые различными типами
особых точек уравнения (2.1) в плоскости
,
представлены на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Классификация особых точек
линейных двумерных систем
В случае
докритический узел соответствует
скалярной матрице
,
где
– единичная
матрица, а вырожденный узел – матрице,
подобной двумерной жордановой клетке.
Условие
определяет линию вырожденных особых
точек, среди которых можно выделить
вырожденный плоский седло‑узел,
имеющий, как правило, один узловой и два
седловых сектора. Невырожденное седло,
узел и фокус являются гиперболическими
особыми точками. Поэтому, как следует
из теоремы 2.1., все изображенные на рис.
2.1. особые точки, кроме центра, сохраняют
свой тип при малых возмущениях линейной
системы (2.1). Cедло
всегда устойчиво, а узел и фокус могут
быть как устойчивыми, так и неустойчивыми
в зависимости от знака вещественных
частей собственных значений матрицы
.