3. Хаотическая динамика

Причины возникновения хаотических процессов в детерминированных нелинейных системах связаны, прежде всего, с экспоненциальной неустойчивостью, которая, в свою очередь, порождает высокую чувствительность к точности задания начальных данных. При этом вид траекторий свидетельствует о наличии сложного апериодического процесса, не отличающегося по физическим характеристикам от случайного процесса.

Сложные нерегулярные движения нелинейных систем получили название детерминированного хаоса. В этом понятии объединены прямо противоположные по смыслу термины: детерминизм, ассоциируемый с однозначной предсказуемостью и воспроизводимостью, и хаос, связываемый с непредсказуемостью. Внешне процесс эволюции системы ничем не отличается от случайного процесса. Однако при более детальном анализе вскрывается одно важное отличие – он воспроизводим. Повторив точно начальное состояние, мы вновь воспроизводим ту же самую траекторию независимо от ее сложности.

3.1. Признаки хаотического поведения

Классическая теория дифференциальных уравнений имеет дело с поведением на конечном временном интервале. Конечность временного интервала позволяет доказывать многие теоремы и строить вычислительные алгоритмы. Нелинейная динамика изучает асимптотическое поведение систем.

Хаотическая система объединяет в себе глобальную устойчивость (траектории не уходит из некоторой области фазового пространства) с локальной неустойчивостью (малые погрешности начальных данных нарастают, близкие траектории расходятся).

Хаос – одно из важных понятий нелинейной динамики, которому трудно дать строгое математическое определение, однако можно выделить его характерные признаки.

3.1.1. Существенная зависимость от начальных данных

Одним из ключевых признаков динамического хаоса является высокая чувствительность к начальным данным, которая подразумевает экспоненциальное удаление бесконечно близких траекторий. Траектории притягиваются к множеству, обладающему фрактальной структурой, – странному аттрактору. Движение на аттракторе непредсказуемо и хаотично.

Возьмем две первоначально близкие точки и , лежащие на аттракторе, и определим расстояние между ними . Здесь и  – решения исследуемой нелинейной системы с начальными данными и . Геометрически соответствует длине отрезка с концами в точках и . В момент времени расстояние можно оценить через вектор , характеризующий погрешность задания начальной точки и некоторый коэффициент :

.

Показатель , определяющий скорость экспоненциального удаления траекторий, называется характеристическим показателем Ляпунова. Показатель Ляпунова характеризует аттрактор, а не отдельно взятую траекторию, если рассматривать множество бесконечно близких траекторий и среднюю скорость их удаления на большом интервале времени. Формально, характеристический показатель Ляпунова вводится следующим образом:

.

Движение на аттракторе оказывается неустойчивым по Ляпунову (локально неустойчивым). Чем больше величина характеристического показателя Ляпунова, тем более хаотичным выглядит движение.