3.1.2. Инвариантная мера

Неустойчивость траекторий хаотических динамических систем приводит к тому, что сколь бы малой ни была погрешность в определении исходного состояния системы, эта погрешность будет нарастать, пока не достигнет размера аттрактора. После этого попытки предсказания будущего поведения становятся лишенными всякого смысла.

Разбив область фазового пространства, в которой содержится аттрактор, на ячейки, вычислим отношение . Здесь  – время, проводимое траекторией в ‑й ячейке,  – полное время движения на аттракторе. Если время , то это отношение стремится к некоторой фиксированной для данной ячейки величине. Отклонение от среднего значения уменьшается с ростом . Это напоминает стремление частоты случайного события к его вероятности при увеличении числа испытаний. Возникает аналогия между теорией вероятностей и теорией динамических систем.

Подобно тому, как в теории вероятностей вводят меру на пространстве случайных событий (для дискретного пространства – это вероятность элементарного события, а для непрерывного – плотность вероятности), можно определить некоторую меру в фазовом пространстве, связанную с динамической системой. Эта мера получила название инвариантной меры. В данном случае она инвариантна при временном сдвиге траектории – переходе от точки к точке .

Инвариантная мера позволяет множеству в фазовом пространстве сопоставить некоторое число, которое можно интерпретировать как вероятность посещения траекторией данного множества. Определив, таким образом, понятие вероятности, можно для исследования динамических систем применять статистические методы, например, ввести понятие средней величины, корреляций, энтропии. Для динамического хаоса статистические методы оказываются весьма подходящим инструментом его изучения.

К понятию инвариантной меры можно прийти и иным путем, рассмотрев не одну траекторию, а целый ансамбль, начальные данные для которого распределены в фазовом пространстве с некоторой плотностью вероятностей . Пусть отображение определяет динамику исследуемого процесса. Для какой-либо траектории из ансамбля вероятности оказаться в бесконечно малой окрестности точки и в окрестности ее образа должны совпадать, т. е. . Из-за преобразования пространства размер этой бесконечно малой окрестности, вообще говоря, изменится, а поэтому изменится и плотность вероятности. Преобразование пространства порождает преобразование плотности вероятности . Таким образом, случайные последовательности можно представить как результат действия некоторого отображения на пространстве случайных событий, если это отображение сохраняет меру или мера для него является инвариантной.

Существование инвариантной меры в фазовом пространстве является важной характеристикой хаоса. Инвариантная мера характеризует частоту попадания фазовой точки в заданный объем, определяя «долю» всех итераций, попадающих в точку , или с какой плотностью итерации исследуемого отображения размазаны по множеству.

3.1.3. Эргодичность и перемешивание

Движение системы называется эргодическим, а сама система – эргодической, если для любой интегрируемой функции и для любых начальных условий выполнено равенство

,

т. е. среднее значение функции по времени равно фазовому среднему. Для эргодической системы относительное время, проводимое системой в подобласти области , пропорционально относительному объему и не зависит от начального состояния. Иными словами, фазовая кривая эргодической системы равномерно и плотно заполняет весь объем области .

Эргодичность – необходимое, но не достаточное условие хаотичности движения динамической системы. Для автономной гамильтоновой системы движение происходит по фазовому многообразию, размерность которого меньше чем размерность всего фазового пространства, так как в таких системах есть первый интеграл – энергия. Движение трехмерной гамильтоновой системы с одним первым интегралом будет происходить на двумерном торе. Выделенная начальная область под действием фазового потока перемещается по тору без изменения ее формы.

Существуют системы с более сложными режимами движения, для которых начальный объем, перемещаясь по доступной части фазового пространства, сильно деформируется. С течением времени разные части исходной области можно обнаружить в разных частях объема области вне зависимости от формы и расположения . Это свойство, называемое перемешиванием, может служить критерием хаотичности.

Перемешивание связано со сходимостью мер. Если преобразование плотности вероятности под действием оператора Перрона–Фробениуса независимо от начального распределения стремится к инвариантной мере, то говорят, что динамическая система обладает свойством перемешивания. Начальное распределение «перемешивается» и «растекается» по всему аттрактору, подобно тому, как капля чернил в стакане воды при перемешивании распространяется по всему стакану.

Если в начальный момент на множестве , принадлежащем аттрактору , задано некоторое распределение вероятностей, то с течением времени, благодаря неустойчивости траекторий, это распределение «расплывается» по всему аттрактору и стремится с точностью до множителя к распределению, соответствующему инвариантной мере.

Перемешивание – более сильное свойство, чем эргодичность. Из него сразу вытекает, что автокорреляционная функция динамической системы должна экспоненциально убывать, а скорость убывания связана со скоростью сходимости меры к инвариантной мере. Однако если для эргодичности существуют теоремы, доказывающие, что этим свойством обладает большинство реальных систем, то перемешивание требует доказательства в каждом отдельном случае.

Полагают, что наличие положительного характеристического показателя Ляпунова (т. е. экспоненциальное разбегание близких траекторий) свидетельствует о перемешивании. Это утверждение в настоящий момент не доказано, хотя и не опровергнуто.

С течением времени малый объем фазового пространства размазывается по всему аттрактору, и возникает эффект перемешивания. Если в начальный момент времени состояние системы было известно достаточно точно, то со временем, зависящим от скорости перемешивания, о состоянии системы можно говорить, что оно «где ‑ то на аттракторе». На больших временах характеризовать систему можно, только указав вероятность появления траектории в окрестности некоторой точки, т. е. мы приходим к вероятностному описанию динамического хаоса с использованием инвариантной меры и энтропии – степени хаотичности системы.