1.3.2. Дискретное время
Если время меняется
дискретно, то задается правило, позволяющее
по точке
в момент времени
,
находить точку в момент времени
.
Это определяет отображение
.
Таким образом,
.
Очевидно, что
,
и т. д.
Пример.
Пусть имеем
линейную систему разностных уравнений
.
Тогда отображение
выписывается в явном виде
.
1.4. Уравнения в вариациях
Пусть
– дифференцируемое
отображение области
пространства
в область
пространства
.
Производной отображения в точке
называется главная линейная часть
отображения
в точке
,
т.е. линейный оператор
такой, что
.
В координатах
и
отображение
записывается в виде векторной функции
.
Матрица линейного оператора
в координатах
– это
матрица Якоби векторной функции
:
,
,
,
,
.
Теорема 1.1.
Пусть семейство дифференциальных
уравнений (1.3) задано векторными полями
,
непрерывными в некоторой области
пространства
вместе со своими производными
и
.
Тогда решение
семейства (1.3) с начальным условием
непрерывно дифференцируемо по
,
.
Если зависимость поля
от параметров
лишь непрерывна, то и зависимость решения
от параметров непрерывна.
Уравнения для
производных решения по начальным
условиям и параметрам выписываются в
явном виде. Обозначим через
решение системы (1.2) с начальным условием
.
Фиксируем
и положим
.
При каждом
линейный оператор
действует из
в
.
Из уравнения (1.2) следует, что
операторнозначная функция
удовлетворяет следующему уравнению в
вариациях:
,
где
.
Последнее уравнение
является линейным однородным неавтономным
дифференциальным уравнением, причем
– единичная
матрица.
Найдем теперь
уравнение в вариациях для производной
решения семейства (1.3) по параметрам.
Пусть
– решение
семейства (1.3) с начальным условием
.
Фиксируем
и положим
.
При каждом
линейный оператор
действует из
в
.
Из уравнения (1.3) следует, что
операторнозначная функция
удовлетворяет уравнению в вариациях:
,
где
,
.
Это линейное
неоднородное неавтономное дифференциальное
уравнение, причем
.
1.5. Диссипативные и консервативные системы
Любая область
фазового пространства под воздействием
фазового потока переходит за время
в некоторую другую область
.
Обозначим через
объем области
фазового пространства, получающейся
при сдвиге в течение времени
всех точек некоторой начальной области
вдоль фазовых кривых автономной системы
дифференциальных уравнений (1.1). Тогда
изменение объема
удовлетворяет уравнению
,
где
– сумма
диагональных элементов оператора
,
а
– евклидов
элемент объема.
Определение 1.8. Система уравнений (1.1) (динамическая система) называется консервативной, если объем произвольной области фазового пространства не меняется со временем, и диссипативной, если объем некоторой области фазового пространства со временем уменьшается.
Таким образом,
если всюду в фазовом пространстве
,
то система сохраняет объем и является
консервативной. Если существует область
фазового пространства, в которой
,
то система (1.1) диссипативна в этой
области.