1.2. Каскады

В некоторых ситуациях для моделирования системы достаточно указать ее состояние в заданные дискретные моменты времени. В этом случае в качестве эволюционного оператора можно использовать функцию, определяющую состояние системы в некоторый момент времени через ее состояние в предыдущий момент. Математической моделью динамической системы в этом случае служит разностное уравнение с заданным начальным условием

. (1.9)

Рассмотрим диффеоморфизм класса , , т. е. гомеоморфизм на такой, что и  – отображения класса . Свяжем с диффеоморфизмом отображение : , определенное следующим образом:

для ;

для .

Отображение обладает следующими свойствами:

‑  ; (1.10)

‑ для любых

; (1.11)

‑ при любом фиксированном отображение

класса . (1.12)

Определение 1.6. Отображение со свойствами (1.10) ‑ (1.12) называется гладким каскадом, или гладкой динамической системой с дискретным временем на .

Определение 1.7. Множество

называется орбитой или траекторией точки под действием каскада .

Для траектории динамической системы (1.9) может выполняться одна из двух возможностей:

‑ либо при некотором , в этом случае существует наименьшее натуральное такое, что для всех , сама точка называется периодической точкой периода , а ее траектория состоит из различных точек (при точка называется неподвижной);

‑ либо для всех , в этом случае траектория состоит из счетного множества различных точек.

1.3. Связь уравнения движения и отображения

Локальные свойства динамических систем, т. е. их свойства при малых временах определяются видом исследуемых дифференциальных уравнений (уравнений движения). Асимптотическое поведение решений при зависит от свойств отображения .

Чаще всего отображение неизвестно, а динамическая система задается в виде уравнений движения, которые позволяют по точке в момент времени найти точку, отвечающую следующему моменту времени: для непрерывного времени и для дискретного. Т. е. определяется не вся траектория сразу, а задается правило, по которому траектория находится шаг за шагом. Такой способ оказывается более универсальным, чем задание отображения в явном виде. Например, для большинства хаотических систем не существует конструкций, позволяющих записать отображение, минуя все промежуточные моменты времени.

Одна из основных задач нелинейной динамики состоит в исследовании свойства отображения по заданным уравнениям движения.

1.3.1. Непрерывное время

Если время меняется непрерывно, то динамическая система задается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.1). Установим связь между функцией и отображением . Пусть в некоторый момент состояние динамической системы описывается точкой . Тогда . С другой стороны,

,

т. е.

.

Таким образом, если  – решение дифференциального уравнения при начальных данных , тогда . Аргумент функции  – это начальные данные для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Следовательно, производная  – это производная решения по начальным данным.

Пример. ,  – положительное число. Решением уравнения с начальными данными будет . Поэтому .

Пример. ,  – постоянная матрица. Решение линейной системы , тогда .