2.4 Тензор напряжений

Из вышесказанного следует, что напряженное состояние задано, если известны его 9 компонент. Т.о., если напряжение – вектор, то напряженное состояние в точке вектором быть не может, т.к. выражается не через n, а через n² компонент (где n – размерность пространства).

Известно [11], что переменная величина р_ij, определяемая в любой системе декартовых координат n² компонентами, является тензором (2-го ранга), если при поворотах системы координат компоненты преобразуются по соотношению:

р_{i' j'} = a_i'l a_jm p_lm, (2.11)

где a_i'l, a_j'm – косинусы углов между осями старой и новой систем координат; i^', j^', l, m = 1, 2, . . . n.

Можно показать, что 9 компонент напряженного состояния в точке действительно образуют тензор 2-го ранга (в дальнейшем – просто тензор).

Тензор, компонентами которого являются напряжения на гранях элементарного объема, называется тензором напряжений.

Далее тензор напряжений будем обозначать Т_σ или, в тензорной записи, буквой с двумя индексами: σ_ij. Векторы в такой записи обозна-чаются буквой с одним индексом. Например, вектор скорости – V_i.

Компоненты тензора напряжений Т_σ изображают в виде матрицы:

или (2.12)

2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*

Выразим компоненты р_i'к' тензора напряжений в новой (штрихованной) системе координат через его компоненты p_lm в старой (не штрихованной) системе. В соответствии с соотношением Коши (2.7) векторы полных напряжений на площадках, нормальных к осям новой системы координат х₁^', х₂^', х₃^', которая развернута в пространстве отно-сительно исходной (рис. 2.5), будут равны следующему:

Рисунок 2.5 − К доказательству тензорности напряженного состояния

(2.13)

В тензорной записи:

(2.14)

где а_i'l = cos ﴾x_i' , x_l﴿ – направляющие косинусы углов между i^'-ой осью новой системы координат и l-ой осью старой.

Перейдем от векторов к их скалярным компонентам . Для этого вспомним, что каждый вектор в физическом пространстве имеет по три компоненты и поэтому вместо следует записать . Векторы в старой системе будут иметь компоненты p_lm. Однако в новой системе эти компоненты преобразуются по закону преобразования компонент любого вектора при поворотах системы координат (см.8.1):

А_к' = a_k'm A_m

В нашем случае в новой системе координат: а_к'm p_lm . Подставляя в (2.14) вместо и полученные выражения, будем иметь:

Сравнивая с (2.11) видим, что компоненты напряженного состояния действительно преобразовываются при повороте системы координат по тензорному закону.

Следовательно, напряженное состояние в точке действительно

является тензорной переменной и не может быть выражено вектором, в отличие от напряжения в точке. Это существенно усложняет все соотношения МСС, т.к. тензор имеет минимум в два раза больше компонент, чем вектор.