5 Основы теории упругости

5.1 Предмет теории упругости

Рассмотренные ранее в статике, кинематике и термодинамике закономерности справедливы для любых «обычных» сплошных сред: твердых, жидких и газообразных. Теперь мы перейдем к рассмотрению особенностей движения деформируемых твердых тел, к классу которых относятся все подвергающиеся обработке давлением металлы.

Известно, что при ОМД возникают деформации двух видов: упругие и пластические. Под упругими понимаются деформации, полностью исчезающие после снятия вызвавших их нагрузок. Они существуют до тех пор, пока действуют внешние нагрузки.

Упругая деформация – это деформация, полностью исчезающая после снятия вызвавшей ее нагрузки.

Пластическая деформация – это изменение формы тела без нарушения его сплошности, полностью сохраняющееся после снятия вызвавшей ее нагрузки.

Т.о. пластические деформации, в отличие от упругих являются остаточми.

При нагружении сначала возникают упругие деформации. Затем, при достижении τ_мах или τ_опт определенных, критических значений, упругие деформации переходят в пластические. При дальнейшем увеличении нагрузок, в конце концов, происходит разрушение тел (нарушение их сплошности). При разгрузке упругие деформации уменьшаются до нуля, а пластические сохраняются.

Процессы упругого деформирования изучаются теорией упругос-ти.

Теория упругости – это раздел МДТТ, в котором устанавливаются закономерности упругого деформирования под действием внешних нагрузок как при равновесии, так и при движении деформируемых твердых тел.

Теория упругости подразделяется на экспериментальную [6], в которой изучаются физические соотношения между напряжениями и вызванными ими деформациями для различных материалов (металлов, пластмасс, резины, композитов и т.д.) и математическую, занимающуюся составлением уравнений и изысканием способов их решения для различных задач упругого формоизменения [10,13...17]. Наиболь-шее развитие и применение получила классическая линейная теория упругости. В ее основе лежит представление об идеальной упругости как способности тел после снятия нагрузки полностью восстанавливать свою форму вне зависимости от «наследственности» (т.е. пути нагружения), последствия (отставание деформаций от изменения нагрузок во времени) и релаксации (непрерывного уменьшения напряжений при неизменных деформациях). Работа внешних сил при идеальной упругости полностью переходит в потенциальную упругую энергию, без рассеивания тепла. Т.о. первое начало термодинамики выполняется в форме сохранения механической энергии.

Для идеальной упругости характерно то, что при каждой температуре независимо от времени существует взаимно–однозначное соответствие между напряжениями и деформациями. Для большинства конструкционных материалов эта зависимость является линейной с высокой степенью точности (рис. 5.1а), но у некоторых материалов (отожженная медь, алюминий, высоколегированные стали и др.) она нелинейна (рис.5.1б).

а) б)

Рисунок 5.1 − Диаграммы деформация-напряжение

Линейная теория упругости изучает поведение упругих сред, подчиняющимся линейным зависимостям в пределах малых деформаций. Существует также нелинейная теория упругости, рассматривающая равновесие упругих сред с нелинейной связью между напряжениями и малыми деформациями (т.н. физически нелинейная теория). Известна и геометрически нелинейная теория упругости, рассматривающая процессы упругого деформирования при больших (конечных) деформациях тел с линейной связью между напряжениями и дефор- мациями.

Ранее отмечалось, что в общем случае, когда распределение напряжений по площадкам неравномерно, напряженное состояние характеризуется не только тензором напряжений, но и тензором моментных напряжений. Рассматривающая такие задачи для упругих сред теория называется моментной теорией упругости. Наконец, существует динамическая теория упругости, изучающая распространение упругих волн и деформаций при ударном приложении нагрузки.

В дальнейшем ограничимся рассмотрением основ только линей-

ной теории, вполне достаточной при описании квазистатических процессов деформирования металлов и расчетов на прочность и жесткость деталей машин ОМД.