- •8 Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры
- •1.1 Задачи курса «Механика сплошных сред»
- •1.2 Предмет механики сплошной среды
- •1.3 Методы механики сплошной среды
- •1.4 Основные принципы механики сплошной среды
- •1.5 Элементарный объем
- •1.6 Переменные Лагранжа и Эйлера
- •1.7 Движение и равновесие сплошной среды
- •2 Статика сплошной среды
- •2.1 Напряжение в точке
- •2.2 Напряженное состояние в точке
- •2.3 Соотношения Коши и компоненты напряженного
- •2.4 Тензор напряжений
- •2.5 Доказательство тензорности напряженного состояния*
- •2.6 Условия симметричности тензора напряжений
- •2.7 Доказательство равенства парных касательных
- •2.8 Общий случай напряженного состояния*
- •2.9 Главные напряжения
- •2.10 Нормальные и касательные напряжения
- •2.11 Максимальные касательные напряжения
- •2.12 Шаровой тензор и девиатор напряжений
- •2.13 Изображение напряженного состояния в точке
- •2.14 Октаэдрические напряжения и интенсивности
- •2.15 Уравнения равновесия
- •2.16 Уравнения равновесия в недекартовых системах
- •2.17 Уравнения равновесия в общем случае *
- •2.18 Краевая задача статики сплошной среды
- •3 Кинематика сплошной среды
- •3.2 Абсолютная и относительная деформация
- •3.3 Поле относительных смещений
- •3.4 Составляющие движения сплошной среды
- •3.5 Тензор малых деформаций
- •3.6 Геометрический смысл компонент тензора малых
- •3.7 Тензоры конечных деформаций
- •3.8 Общий случай малых деформаций *
- •3.9 Анализ деформированного состояния в точке
- •3.10 Инварианты тензора малых деформаций
- •3.11 Главные деформации
- •3.12 Максимальные угловые деформации
- •3.13 Октаэдрические деформации и интенсивности
- •3.14 Условия совместности деформаций
- •3.15 Определение перемещений по деформациям*
- •3.16 Поле скоростей
- •3.17 Первая теорема Гельмгольца
- •3.18 Тензор скоростей деформаций
- •3.19 Свойства тензора скоростей деформаций
- •3.20 Вторая теорема Гельмгольца*
- •4 Элементы термодинамики сплошных сред
- •4.1 Термодинамические системы и параметры состояния
- •4.2 Законы сохранения
- •4.3 Теоремы э. Нётер и свойства симметрии
- •4.4 Закон сохранения массы и уравнение неразрывности
- •4.5 Вывод уравнения неразрывности*
- •4.6 Теорема «живых сил»
- •4.7 Первое начало термодинамики
- •4.8 Уравнение теплопроводности
- •5 Основы теории упругости
- •5.1 Предмет теории упругости
- •5.2 Обобщенный закон Гука
- •5.3 Упругое изменение объема и формы
- •5.4 Потенциальная энергия упругого деформирования
- •5.5 Постановка задач в теории упругости
- •5.6 Решение задач теории упругости в перемещениях
- •5.7 Решения задач теории упругости в напряжениях
- •5.8 Плоское напряженное состояние*
- •5.9 Плоское деформированное состояние*
- •5.10 Плоская задача в моментной теории упругости *
- •5.11 Функция напряжений*
- •5.12 Способы решения задач теории упругости*
- •6 Основы теории пластичности
- •6.1 Предмет теории пластичности
- •6.2 Переход в пластическое состояние при растяжении
- •6.3 Условия пластичности
- •6.6 Экспериментальная проверка условий
- •6.7 Теории пластичности
- •6.8 Теория пластического течения
- •6.10 Постулат Друкера и ассоциированный закон
- •6.11 Области применимости различных теорий пластичности
- •6.12 Экстремальные принципы пластического
- •7 Применение теории пластичности в омд
- •7.1 Постановка задач при расчетах процессов омд
- •7.2 Математический аппарат и краевые условия при омд
- •7.3 Способы решения задач теории пластичности
- •1.Численные методы;
- •2.Прямые методы получения решений на основе экстремальных принципов мсс;
- •3.Уменьшения числа независимых переменных и искомых функций.
- •7.4 Частные виды напряженно-деформированных
- •1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;
- •2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.
- •7.5 Особенности плоского деформированного состояния
- •7.6 Осесимметричное деформированное состояние
- •7.7 Метод линий скольжения
- •7.8. Свойства линий скольжения
- •7.9 Простые сетки линий скольжения
- •7.10 Статические граничные условия в млс
- •7.11 Задача о внедрении штампа в полупространство
- •7.12 Основные краевые задачи в млс*
- •7.13 Определение поля скоростей в млс*
- •7.14 Полные решения задач плоской деформации
- •Пластичности в омд”
- •8. Приложения. Элементы векторной и тензорной алгебры и анализа
- •8.1 Скаляры и векторы
- •8.2 Векторный базис
- •8.3 Сложение и умножение векторов
- •8.4 Тензоры 2-го ранга
- •8.5 Преобразование компонент тензора
- •8.6 Сложение и умножение тензоров
- •8.7 Симметрирование и альтернирование тензоров
- •8.8 Умножение тензора на вектор
- •8.9 Главные оси тензора
- •8.10 Определение величины и направления главных компонент тензора
- •8.12 Поверхности уровня и градиент скалярного поля
- •8.13 Векторное поле и векторные линии
- •8.14 Поток и дивергенция векторного поля
- •Теорема Остроградского–Гаусса:
- •8.15 Циркуляция и ротор векторного поля
- •8.16 Оператор («набла»)
- •8.17 Дифференциальные операции 2-го порядка
- •8.18 Потенциальные векторные поля
- •8.20 Гармонические векторные поля
- •8.21 Основная теорема векторного анализа
- •8.22 Производная и градиент векторного поля
- •8.23 Поток тензорного поля
- •8.24 Дивергенция тензорного поля
- •8.25 Производная тензорного поля по направлению
- •Предметный указатель
- •Перечень ссылок
1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;
2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.
Компоненты напряженного состояния малы по сравнению с другими составляющими, т.к. основание пластины свободно от нагрузок, а толщина пластины h мала по сравнению с поперечными размерами. По этой же причине компоненты мало изменяются по толщине и поэтому могут считаться независящими от координаты z . Поэтому тензоры напряжений и деформаций при ПНС имеют вид:
,
причем функции зависят только от двух координат. Условие пластичности Треска-Сен-Венана принимает следующий вид:
, если (7.2)
или , если
Условие Губера-Мизеса при любых соотношениях главных напряжений имеет вид:
(7.3)
Плоское напряженное состояние имеет место в некоторых процессах листовой штамповки, хотя известны примеры его использования для расчетов процесса прокатки слябов вертикальными валками при осо-
бом условии пластичности [41].
Под плоским деформированным состоянием (ПДС) понимается такой вид НДС, когда поля напряжений и деформаций в сечениях, перпендикулярных некоторой оси, одинаковы. Поэтому достаточно определить их в одном сечении, и они будут известны во всем теле. Возникает ПДС при выполнении следующих 4-х условий:
1. Размеры деформируемого тела в направлении одной из осей
значительно превышают его размеры в остальных направлениях;
2. Тело нагружено уравновешенной системой сил, приложенных к его поверхности, и не изменяющихся вдоль большего размера;
3. Перемещения вдоль большего размера тела отсутствуют;
4.Сечения тела, перпендикулярные большему размеру, при деформи-
ровании не искривляются (т.н. депланация сечений отсутствует).
Условия возникновения ПДС показаны на рис.7.7.
Рисунок 7.7 − Плоское деформированное состояние
В каждом сечении, параллельном плоскости XOY, деформации
и скорости деформаций будут одинаковыми в сходственных точках. Вдоль оси z деформация отсутствует ( =0). Но напряженное состояние будет объемным, т.к. . Благодаря тому, что есть нормальные напряжения , нет и . Поскольку сечения XOY не депланируются, то и является главным напряжением.
Переход в пластическое состояние по условию Треска-Сен-Венана происходит при:
(7.4)
где .
При условии несжимаемости среды такой же вид для ПДС имеет
и условие Губера-Мизеса, но .
Некоторые, весьма распространенные процессы ОМД, такие как прокатка широких листов на гладкой бочке, протяжка плоскими бойками и др. имеют НДС, весьма близкое к ПДС. Поэтому этот вид НДС довольно широко применяется в практике расчетов и его следует рассмотреть подробнее.
7.5 Особенности плоского деформированного состояния
Будем считать среду идеально-жесткопластической. Тогда по теории течения:
Отсюда следует, что . Используя (2.36), находим: (7.5)
Подставив это в условие (6.8), получим (7.4). Поскольку напряжения не зависят от координаты z, то уравнения равновесия упрощаются:
(7.6)
Следовательно, для определения трех неизвестных имеем три уравнения (два равновесия и одно – условие пластичности). Поэтому формально задача для напряжений плоской деформации считается статически определимой. Фактически это не так, поскольку границы пластической области не определены и чтобы их найти, следует использовать (7.4).
Кинематические уравнения по теории течения находятся следующим образом. Для плоской деформации (6.17) приобретают вид:
(7.7)
Вычтя из и разделив на , получим:
(7.8)
Выразив скорости деформаций через скорости течения по (3.43) и добавив уравнение несжимаемости (4.3) в форме для плоской задачи, получим уравнения для скоростей плоского деформированного состояния (7.9):
(7.9)
Уравнения (7.7) не могут быть использованы, т.к. они требуют граничных условий в виде скоростей деформаций, которые не поддаются измерению, тогда как скорости течения являются величинами измеримыми.
В результате совместно с (7.4) и (7.6) имеем систему из 5 уравнений для 5 неизвестных функций: , . При смешанных граничных условиях необходимо совместное решение этой системы. Если же известны статические граничные условия и границы пластической области, то возможно вначале найти поле напряжений при помощи (7.4) и (7.6), а затем поле скоростей по (7.9).
Напряженное состояние при плоской деформации обладает следующей особенностью. Поскольку является главным напряжением, то, сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси z (рис.7.8), является главной площадкой. Положение двух других главных площадок, параллельных оси z, можно найти по формуле, следующей из (2.24):
, (7.10)
где - угол между главной осью 1 и осью x (рис.7.9).
Т.о. при ПДС не нужно решать систему уравнений для опре-деления направления главных напряжений; оно находится по простой формуле.
Рисунок 7.8 − Положение главных площадок при ПДС
Столь же просто можно найти и величину главных напряжений, используя (2.21) и (7.5):
(7.11)
Знак (+) определяет , а знак (-) - . Напряжение = .
Из (7.11) следует, что наибольшее касательное напряжение:
(7.12)
Поэтому . Следовательно, напряженное состояние при ПДС есть сумма чистого сдвига с касательным напряжением и всестороннего растяжения или сжатия со
средним нормальным напряжением .
Тот факт, что напряженное состояние при ПДС можно предста-
вить как сумму двух простейших напряженных состояний (рис.7.9), позволяет решать задачи плоской деформации сравнительно простыми методами.
Рисунок 7.9 − ПДС как сумма двух НДС