8.13 Векторное поле и векторные линии

В координатной форме векторное поле выражается 3

скалярными функциями – проекциями на оси координат. В случае стационарного поля:

Геометрически векторные поля изображаются векторными лини-ями [43].

Векторная линия – это линия, в каждой точке которой направление касательной совпадает с направлением вектора в данной точке поля.

Из условия параллельности вектора и вектора касательной к векторной линии получают систему уравнений семейства векторных линий поля:

Пример: найти векторные линии магнитного поля проводника с током силой I, текущего по бесконечно- длинному прямолинейному проводу.

Решение: Принимаем провод за ось z; тогда вектор напряженности магнитного поля:

где

Учитывая, что:

система распадается на dz = 0. Отсюда z = 0 и

Поэтому: или – уравнение окружностей в плоскости z = 0.

8.14 Поток и дивергенция векторного поля

Эти параметры векторного поля определяются следующим образом. Пусть векторное поле образовано вектор-функцией [43]:

. (8.10)

Возьмем в поле произвольную поверхность S и выберем на ней опреде-ленную сторону с единичным вектором нормали к ней (рис. 8.5).

Рисунок 8.5 − К определению потока векторного поля

Потоком вектора через поверхность называется интеграл по поверхности от скалярного произведения вектора поля и вектора нормали к поверхности S (т.е. от проекции вектора поля на направление нормали к этой поверхности):

Поток вектора – величина скалярная (скалярное произведение и

). Если изменить сторону поверхности S, то поток изменит свой знак на противоположный).

Физическим смыслом потока векторного поля скорости несжимаемой жидкости является объем жидкости, протекающей в единицу времени через данную поверхность.

Поток характеризует поведение векторного поля интегрально, по некоторой поверхности. Локальной, точечной характеристикой поля является дивергенция. Окружим некоторую точку векторного поля замкнутой поверхностью S. Найдем предел отношения потока через эту поверхность к ее объему при условии, что

Предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность к объему, ограниченному этой поверхностью, при условии, что объем стремится к нулю, называется дивергенцией поля в точке .

Если дивергенция больше нуля, то данная точка называется источником, если дивергенция меньше нуля, то - стоком. Величина дивергенции характеризует мощность источника или стока. Если функции А_х, А_у и А_z непрерывны вместе со своими производными, то дивергенция существует. Дивергенция - скаляр, т.к. является результатом скалярного произведения двух векторов: